前々章§4は、第5章（４）自由な質点の運動法則、測地線の微分方程式を参照。
ここの Ｋｋｊｉｈ は６．（５）１．の“リーマン・クリストッフェルの曲率テンソル”を意味し、 Ｋｊｉ は６．（６）２．の“リッチテンソル”を意味する。
本稿は文献１．第7章“テンソル解析学の一般相対性理論への応用”からの引用です。ただし、かなり改変しています。また、節を細分した項は私どもが適当に設定しました。そのため、元表現は源文献でご確認下さい。
本稿の理解には別稿「一般相対性理論を理解するための数学的準備」の知識が必要です。さらに補足しますと、本稿はEinsteinの1916年論文「一般相対性理論の基礎」のＣ．Ｄ．Ｅ．章を参考にして展開されています。そのため、Einstein論文を参考にされながらお読みください。
（１）場の方程式
1．物質外部の場の方程式
2．物質内部の場の方程式
3．宇宙項を含んだ場の方程式
（２）第１近似としてのニュートンの理論
1．運動方程式
2．重力場方程式
（３）ハミルトンの原理
（４）ハミルトンの原理（続き）
（５）保存法則
（６）重力場と電磁場の方程式
1．重力場における電磁場の方程式
2．電磁エネルギー運動量テンソル
3．変分原理から導く
（７）一つの質点による静的重力場（シュワルツシルド解）
（８）一つの質点による静的重力場内の質点の運動
（９）実験的検証
1．水星の近日点移動
2．重力場における光の進路の歪曲
3．スペクトル線の赤方偏移
END．参考文献
前々章§4は、第5章（４）自由な質点の運動法則、測地線の微分方程式を参照。
ここの Ｋｋｊｉｈ は６．（５）１．の“リーマン・クリストッフェルの曲率テンソル”を意味し、 Ｋｊｉ は６．（６）２．の“リッチテンソル”を意味する。
［補足説明１］
物理法則の正当性を決定するのは経験事実しかないわけですが、ここで言っている重力場方程式の正当性を判定するための実験的・経験的事実の観測は極めて困難ですから、正当性の判定は極めて難しい。だから、アインシュタインはそれを発見する道程で大変な困難に直面していたわけです。
上記の矢野先生の説明はアインシュタインの説明をそのまま踏襲したものです。この説明については別稿Ｃ．（１４）［補足説明３］を参照されたし。
第１近似については７．（２）を、第２近似については７．（９）１．を参照。
［補足説明２］
上記のＫｊｉ＝Ｋｉｊであることについてはは６．(６)２．を参照。また、Ｋｊｉ＝0ならばＫ＝0となる（なぜなら、ｇｊｉＫｊｉ＝Ｋだから）。従って▽ｉＫｊｉ＝▽ｉｇhiＫｊh＝ｇhi▽ｉＫｊh＝0という4個の恒等式が存在している。
また、上記赤アンダーラインの文章の意味は解り難い所ですが、同じ時空点における基本計量テンソルｇｊｉでも座標が変われば変化するのでした。このことは別稿3．(4)で説明しました。つまり、ｇｊｉにはもともと座標の選び方に伴う不定性があるのです。そのときその不定性を決定するのが座標変換を表す4個の関数だと言うことです。この4個で座標変換に伴う任意性を消せると考えれば、この4個とＫｊｉ＝0の与える6個と合わせて10個になり、10個のｇｊｉの決定には十分になるということだと思います。
宇宙項につきましては杉山文献［10分補講］をご覧下さい。
∂ｉＴｊｉ＝0 については４．（３）４．参照。そのときｇｋｊと▽ｉは交換可能であることに注意。
［補足説明１］
この式は６．（６）３．で説明したように、“ビアンキの恒等式”から必然的に導かれる。しかし、Einsteinは当初この恒等式が成り立つ事を知らなかった。そのため（1／2）Ｋｇｊｉの項の必要性に気付くのに大変な苦労をします。このことについてはPais文献14ｃ．“最後の歩み”の説明を参照して下さい。
実際、1915年の暮れの11/4、11/11、11/18、11/25日付けでベルリンのプロシャ科学アカデミーに提出された一連の論文の最初の三編にはこの項が抜けています。重力場方程式の近似解を測地線方程式に適用して水星の近日点移動を導いた有名な11/18日論文でも抜けています。結局この項はその計算には必要無かったのですが、この項に気づくことが遅れたことをEinsteinはSommerfeld宛の書簡の中で悔やんでいます。
定数κに付いては７．（２）２．［補足説明］《重力場方程式の定数κを決める方法》を参照。
［補足説明２］
上記の ｇｊｉｇｊｉ＝4 は別稿４．（２）［問題１］参照。
上記最後の式変形については別稿「一般相対性理論の基礎」Ｃ．（16）［補足説明２］の［（ｂ）式←→（ｃ）式の書き換え］を参照されたし。
ここでｋは重力定数Ｇであり、μは質量密度ρです。この式に付いては別稿「ポアソン方程式と波動方程式」３．を参照。
（4’）式の形については、石井文献第7章§8． と杉山文献第10章§3．をご覧下さい。
ここの考察は、Einsteinが前節で導入した重力場方程式の正当性を確信する上で、最も重要な考察でした。実際このことは1915年11/18論文§2で初めて展開・説明された。1916年3月総説論文E.§21と一緒に参照されながらお読み下さい。
下記（測地線の方程式）はこちらを参照されたし。
ここは「一般相対性理論の基礎」Ｅ．（21）1．や、別稿（中野董夫著）9-4．重力場中の物体の運動方程式、さらに藤井文献４．§19などもご覧下さい。
このことが最初に示されたのは、Einsteinの超有名な論文1915年11／18§2に於いてです。
［補足説明１］
別稿「等価原理」５．（４）では、ミンコフスキー時空の場合には
従って測地線の方程式は重力場が存在しない場合の自由質点の軌道の微分方程式（いわゆる慣性の法則）
になる事を説明したが、今は極弱い重力場の存在を許しているので、計量テンソルｇｊｉは場所的に少し変化します。
そのとき、重力場が静的な場合、ｇｊｉの時間的な変化はありません。そのためｇｊｉの変化の中で、ｇ44の場所的な変化が重力の元となっていると言うことです。つまり重力場はその場所の時間的な遅れの大きさの場所的な変化の様子で表されるということです。
いずれにしても、“測地線方程式”は、“力の原因として重力のみ”が働いている場合の《真に正しい》運動方程式です。
下記の“物質エネルギー・テンソル” Ｔｊｉ については４．（３）４．を参照。式中のμ0は静止質量密度。
ここは「一般相対性理論の基礎」Ｅ．（21）２．や、別稿（中野董夫著）9-5．重力場の方程式、さらに藤井文献４．§20などもご覧下さい。
［補足説明１］ 《重力場方程式の定数κを決定する方法》
前出の拡張版ポアソンの方程式
の ｋ は重力定数Ｇであり、そこの μ はここの μ0 と同じ質量密度ですから、両者を比較すると“重力場方程式”中の比例定数 κ は
である事になる。
拡張版ポアソンの方程式の解については別稿「ポアソン方程式と波動方程式」３．を参照されたし。
ここで説明されている重力場方程式の定数κを決定する方法は、アインシュタインに依るのですが、あらゆる教科書で踏襲されています。
５．（４）で、変分原理を用いてオイラーの微分方程式（測地線方程式）を求めた。ここでは変分原理を用いて、重力場の方程式を求めよう。
オイラーの微分方程式（測地線方程式）を求めるときには、“作用関数”として
を採用して、ｄｒに付いての線積分の極値を取ることを考えた。
今回は、“作用関数”としてリッチテンソル
を採用して、リーマン時空の体積素
に関する体積積分の極値を取ることを考える。
リーマン時空の体積素が上記の様になる事については別稿「重積分の変数変換とヤコビアン」４．を参照されたし。
このように表されることは３．（５）［補足説明］を復習されたし。
以下の式変形について別稿「テンソル解析学」６．（２）４．［補足説明］を参照されたし。
二つのクリストッフェル記号の差が（1，2）階の混合テンソルに成ることは、例えば別稿６．（２）５．で説明した“クリストッフェル記号の座標変換則”を思い出されればすぐに解ります。
また、テンソルの“共変微分”を別稿４．(５)６．あるいは、別稿６．（３）４．などで復習されれば、上記の変分の表現が次式の共変微分の差の形で表される事が解ります。
上記の最後の式変形▽juj=∂juj、等々については別稿６．（３）７．［補足説明１］の重さ１の相対テンソルの共変微分の表現式を復習されたし。そこのｊとｋが等しくｐ＝１の場合でして、右辺の最後の二項が互いに打ち消し合って普通の微分に帰着する。このことは別稿６．（７）３．の相対テンソルのDiv演算の所でも説明した。
本節の内容はEinsteinの1916年10/26論文［A5］に依存しています。その論文を参照されながらお読み下さい。
すなわち、リッチテンソルの後半の二項のみでも重力場方程式が導けると言うこと。
以下で利用する式については別稿６．(２)３．と６．（２）４．を参照。
以下で利用するクリストッフェル記号の定義は別稿６．（２）を参照
下記の“最小作用の原理”から“オイラーの微分方程式”を導くことは適当な本を参照して下さい。例えばランダウ、リフシュツ著「力学｝1-02、別稿「微分幾何学３（曲面幾何学）」３．（６）１．あるいは「リーマン幾何学」４．（２）［問題２］など。
本節の内容はEinsteinの1916年10/26論文［A5］に依存しています。その論文を参照されながらお読み下さい。
ここの説明は解り難い所です。別稿「アインシュタインの一般相対性理論の基礎」Ｃ．§17をご覧下さい。
上記の第4章§2はこちらを参照。
上記の式が＝0と成ることは、共変微分に関する“回転”の定義式６．(７)２．を利用して、別稿４．（２）２．［補足説明３］と同様な手順で計算すれば良い。。
このとき、共変微分による“回転”は、６．(７)２．で説明したように▽ｊφｉ－▽ｉφｊ＝∂ｊφｉ－∂ｉφｊ が成り立つので、普通の微分の“回転”に帰着する。“そのため、４元表現したＭａｘｗｅｌｌ方程式の一方は、そのまま共変微分形式の同形の一般相対性理論対応の方程式に拡張できるだろう”ということです。
これが別稿４．（２）２．［補足説明４］で説明した形のマックスウェル方程式の拡張版です。双対テンソルを導入する事の意味についても、そこの双対テンソル説明のリンク先をご覧下さい。
これが別稿４．（２）３．のマックスウェル方程式
の一般相対性理論への拡張版です。つまり、こちらの方程式は通常微分を共変微分に置き換えるだけで良いだろうということです。
実際、アインシュタインとグロースマンは、早い段階（1912年の共著論文）で、これら正しい方程式の形を求めています（Pais「神は老獪にして・・・」第12章ｐ288参照）。
これが別稿４．（２）５．のローレンツの力の法則の拡張版です。
ここの式変形については、別稿４．（２）６．の特殊相対性理論の場合を共変微分に拡張して考える。
以下で、物質が存在しないところの重力場重力場方程式の厳密解を求めます。これは球状質量のまわりの時空の様子を表す（ｇｊｉ）の厳密解で、1915年12月にシュワルツシルドによって求められたものです。
この方程式を満足するものを求めなければならないことは７．（１）１．を復習されて下さい。
［補足説明１］
要するに解が球対称である事を予想し、仮に上記の様に仮定してみようと言うことです。4次元の極座標を想像するのは難しいが、3次元極座標のｄｓ2の表現が参考になる。［拡大図はこちら］
線素ｄｓの表現からそれぞれの微小単位セルの計量テンソルは以下の様になる
［補足説明１-1］
この3次元の場合を参考にして、4次元極座標の場合を前記の様に（あるいは次に示す（ｇｊｉ）の様に）仮定しようと言うことです。このときｇ44成分とｇ11～ｇ33成分の符号が逆転しているのは、現実の時空世界が、物質が存在しない時にはその極限としてミンコフスキー時空の計量世界に帰着しなければ成らないからです。また、時間的に定常な解を求めるのですから、ｇｊｉのすべての要素はｘ4＝ｃｔを含みません。そして、ｇ11とｇ44が ｒ のみの関数としているのは球対称性からです。
［補足説明１-2］
重力場方程式Ｋｊｉ＝0を解くと言うことは、適当な境界条件、初期条件の元でこの方程式を満足する（ｇｊｉ）を求めるということです。そのとき、様々な条件から適当な（ｇｊｉ）の形を仮定して解こうと言うことです。
ただし（ｇｊｉ）の最初の設定には次の意図が含まれている。すなわち、ｇ11とｇ44に関しては仮定する形にｅλ(ｒ)やｅμ(r)の様に含みをもたせて、このｇｊｉから求まるクリストッフェル記号を重力場方程式Ｋｊｉ＝0に代入して、仮定した解がその方程式を満たすべきだという条件から未定のλ(r)やμ(r)を決めようと言うことです。
この手法は、こういった複雑な方程式を解くときの“常套手段”ですが、膨大な項要素の計算をしなければならないので、実際にこういったやり方で解けるかどうかを見極めるのはとても難しい。シュワルツシルドはその膨大な計算をやり遂げで厳密解を求めたと言うことです。
シュワルツシルドの取った方針については別稿「アインシュタインの重力場方程式」4．§2．［補足説明6］をご覧下さい。
［補足説明２］
（ｇｊｉ）から（ｇｉｈ）を求めるには、ｇｊｉｇｉｈ＝δｊｈ だから逆行列 ｇｉｈ＝（ｇｊｉ）-１ を行列演算に従って求めれば良い。
そのとき、（ｇｊｉ）が対角行列の場合は、その逆行列を求めるのは特に簡単です。対応する（ｇｊｉ）の対角各要素の逆数を取ったもので、逆行列（ｇｉｈ）の対角要素を構成すれば良いのです。
なぜならその様にして作った対角行列（ｇｉｈ）と元の対角行列（ｇｊｉ）の積が（δｊｈ）となることは行列の積の定義式により明らかだからです。
いずれにしても、（ｇｊｉ）と（ｇｉｈ）の間にこのような関係があるのは、これがリーマン幾何学が依って立つ基盤だからです。このことの意味については「一般相対性理論の基礎」Ｂ．（８）２．［補足説明1］を復習されて下さい。
［補足説明３］
《クリストッフェル記号の計算》についてですが、別稿４．（３）［例８］で2次元極座標の場合の計算例を示しました。しかし、今は４次元極座標ですから独立なクリストッフェル記号は40個あり、そのすべてを計算するのはかなり面倒です。
計算の様子は（記号の定義は本稿と少し違いますが）一石賢著「道具としての相対性理論」p217-02～をご覧下さい。
［補足説明４］
リッチテンソルが上記の形になることは「一般相対性理論の基礎」Ｂ．（12）の（44）式をご覧下さい。ここでは極座標を用いていますので√-g＝１の条件を使えませんので、“フルタイプのリッチテンソル”を用いなければ成りません。このことについては、「一般相対性理論の基礎」Ｃ．（16）［補足説明３］を参照されたし。
［補足説明５］
《リッチテンソルの計算》もかなり面倒です。計算の様子は（記号の定義は本稿と少し違いますが）一石賢著「道具としての相対性理論」p221-02～をご覧下さい。シュワルツシルドが行なわなければ成らなかった膨大な計算の雰囲気は感じ取れます。
なお、矢野先生の本節の説明は秀逸ですが、Eddingtonの著書“The mathematical Theory of Relativity”(1923年)のⅢ§38を参考にされているようです。
殆どの教科書がシュワルツシルド解の解説を最終目標にしていて、この解法を説明するときの計算量を少なくする為の様々な工夫がなされています。しかし、実際にそれらを読み比べてみられると解りますが、Eddingtonの説明が最も解りやすくて明快です。
“定数ａの値”については、後ほど説明する《シュワルツシルド解の定数ａの決定》を参照。
［補足説明６］
補足しますと、これは最初に仮定した質点の外部の“物質が存在せず球対称の重力場のみが存在する時空領域の重力場方程式Ｋｊｉ＝0の解”です（Schwarzschild, K. , Sitz. Preuss. Akad. Wiss. , 1916, p189-196, (1916年)
この英訳版はこちら）。
つまり、（９）節の現象を引き起こす時空領域の歪みを与える解です。【（８）で説明】
これはまた、今日の重要なトピックスであるブラックホールの存在を予言する解でもあります。
シュワルツシルドは引き続いて、物質が有限の球状領域に分布しているとき、“物質が存在する領域内の解”も求めています（Schwarzschild, K. , Sitz. Preuss. Akad. Wiss. , 1916, p424-432, (1916年) この英訳版はこちら）。
彼は、簡単に解くために、球状領域内では密度ρ＝一定と仮定した。もちろんこの仮定は現実の星に対しては適切ではありませんが、高密度星（中性子星の内部ではほぼ一様密度になっている）に対する解として、今日的な意義はあります。
シュワルツシルドが上記二つの論文を書いた当時の状況説明をキップ・Ｓ・ソーン著「ブラックホールと時空の歪み」白揚社（1997年刊）p111～112より引用。
第2論文も彼に変わってEinsteinが（2月24日に）アカデミーで報告した。しかし、シュヴァルツシルトはロシア戦線で患った病（天疱瘡）により5月11日に亡くなる。
6月29日のEinsteinの追悼の言葉（原文https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/376）
シュワルツシルド解については別稿「一般相対性理論の基礎」Ｃ．（１６）［補足説明３］ と Ｅ．（２２）３．［補足説明１］、および、別稿「アインシュタインの重力場方程式」４．§２［補足説明6］もご覧下さい。
（８）、（９）節もEddingtonの著書“The mathematical Theory of Relativity”(1923年)のⅢ§39～§42を参考にされているようですので、そちらも参照されて下さい。実際、この当たりの説明展開はEddingtonの本が最も秀逸です。
下記測地線方程式については、別稿５．（４）、あるいは「一般相対性理論の基礎」Ｂ．（９）を参照。
《シュワルツシルド解の定数ａの決定》
上記“ニュートンの軌道方程式”は別稿「楕円軌道の発見と万有引力の法則」５．（３）１．などを参照されたし。
シュワルツシルド定数ａを具体的に定める方法はこれ以外にありません。実際Einsteinも水星の近日点移動量を求めた1915年11/18論文でもその様にしています。
［補足説明１］
次のようにして定数ａを決めても良い。
ｇ44はシュワルツシルド線素に於いて
だから、これを７．（２）１．で求めた弱い重力場近似の式
と比較すれば、直ちに
が得られる。
［補足説明２］
上で求めたシュワルツシルト解の定数 ａ の値が、がいわゆるSchwarzschild半径と言われるもので、重力場に伴う現象を論じるときに本質的な役割を果たします。そのことにつきましては、別稿「一般相対性理論の古典的検証と歪んだ時空」をご覧下さい。
上式を利用すれば、様々な球形質量についてのSchwarzschild半径を具体的に計算することができます。
例えば、太陽質量の場合のａ≒2．64km程度になります。つまり太陽程度の質量でも、半径2．64km以内の球状領域内に集中して存在することができれば、その周囲にブラックホールを形成する。そして、この半径に近付くと時間の進みは限りなく遅くなる。
地球質量程度だと別稿で計算している様にａ＝8.85mm程度になります。つまり地球質量程度でも、もしその質量がこの半径内に集中して存在できれば、その周囲にブラックホールを形成します。
［補足説明３］
上記で求めた軌道方程式は、近似を用いていないシュワルツシルドの厳密解(ｇｊｉ）から直接導かれたものです。そのためここまでの議論には近似は行われていません。もちろん軌道運動をする質点の重力場は考慮されていませんから、その点では近似を使っていますがそれ以外は厳密です。
次節で、この軌道方程式を解いて水星軌道の解を求めるのですが、この軌道方程式を解く段階で近似を使います。
ところで、Einsteinが最初に水星の近日点移動を導いたとき（11／18）には、シュワルツシルドの厳密解は知られていませんでしたので、Einsteinは重力場方程式を近似的に解いて(ｇｊｉ）を求めています。そのとき近似を用いると言っても、球対称性の仮定から考え得る解の形はかなり制約されたものとなり、実際の所シュワルツシルドの厳密解と殆ど同じものに成ります。このことはSommerfeldが著書「電磁気学」§38で説明しています。
［11／18論文のEinstein近似解］と［Schwarzschild厳密解］の関係については、Einsteinの11/18論文4.§1.［補足説明3］ と 4.§2.［補足説明6］ を、そしてさらに 1916年論文E.(22)［補足説明5］ をご覧下さい。
水星の近日点移動の説明は、Einsteinが一般相対性理論の正しさを確信する上で、最も重要な論考でした。1915年11/18論文を参照されながらお読み下さい。
先に仮定した式が二次曲線（特に楕円）を表す式であることは別稿「二次曲線の性質」５．を参照されたし。ただし、そこの ｆｅ を ｌ と置いている。すなわち ｌ ＝ｆｅ＝ａ（1-ｅ2）です。ａは水星軌道の長軸半径、ｅは水星軌道の離心率です。そのため、最後の近日点移動量を普通の表現式と比較するときにはこのことに注意する必要があります。
下記近似のやり方は別稿「水星の近日点の移動」３．［補足説明１］に続く部分と同じです。
《数値計算》
具体的な数値を代入して計算してみると以下の様になる。
ただし、これは1公転ごとの近日点移動角度です。
ところで、水星の公転周期はＴ＝0.241年だから、水星は100年で415公転する。そのため、100年当たりの近日点移動量にすると 0.1035×415＝42.9″となる。
この様に、水星の1世紀当たりの近日点移動量の観測値に極めて良く一致する値が導けたことが、Einsteinに自分が導いた重力場方程式の正しさを確信させる根拠となった。別稿４．（４）２．［補足説明２］参照。
このことの検証については別稿「一般相対性理論の古典的検証と歪んだ時空」2-3も参照されたし。
この論考もEinsteinの人生を変えたものです。彼が正しい値を最初に報告したのは1915年11/18日論文です。しかしそこでは導出計算は省略されています。このことの導出説明は1915年3月の総説論文E.§22-2に有りますので、どうぞご覧下さい。
光の進路についての最初の式は、別稿５．（４）の最後を参照。
２番目の測地線方程式は別稿５．（４）、あるいは「一般相対性理論の基礎」Ｂ．（９）を参照。
これは、７．（７）で求めた線素の表現式（シュワルツシルド解）をｄｕで微分したものに於いてｄθ／ｄｕ＝0、sinθ＝sin(π/2)＝１としたもの。
これは、シュワルツシルド解から得られる基本計量テンソルｇji、ｇｊｉを“測地線方程式”に代入して求めた７．（８）の結果（ただしｄｓ→ｄｕ）において、ｄθ／ｄｕ＝0、ｄ2θ／ｄｕ2＝0、cosθ＝cos(π/2)＝0、cotθ＝cot(π/2)＝0としたもの。
上式、及び次式は７．（８）で求めていますので、そこを復習して下さい。もちろん、上式は両辺をｕで微分すると②式になる事で確認しても良い。次の式についても同様です。。
このたびも②式ではなくて、線素の式①を変形して軌道方程式を求めていることに注意。そのとき、右辺の第2項はφに関係しないので、φに関する微分操作で消せることに注意。つまりαが関係する項は無くなる。
上の微分方程式の解が次式となることは、次式を上の微分方程式に代入して見れば了解できる。
上式を導く方法に関してはSommerfeld文献「電磁気学」§38もご覧下さい。ただし、そこのαはここのａの半分に相当することに注意して下さい。
この陰関数のグラフは下図のようになります。双曲線に似ていますがそれとは少し違います。グラフは、Ｒをすべて同じ 1 にして、ａを 1.0，0.2，0.1，0.02 と変えた場合です。
太陽表面をすれすれに進む光線の場合、Ｒ＝太陽半径となり、ａ＝2.64kmですから、ａ／Ｒ＝2.64km／7×105km～10-5程度の値になります。
Einsteinが実際におこなった計算法は1911年プラハ論文§4.［補足説明1］と、別稿「一般相対性理論の基礎」E.(22)2.をご覧下さい。
《数値計算》
具体的な数値を代入して計算してみると以下の様になる。
これは、Einsteinが1912年に重力場内で生じる時間の遅れの効果のみを考慮して導いていた屈曲角の2倍の値となる。そうなったのは正しい重力場理論では空間（物指）の縮みの効果も生じるからです。このファクター2の当否を確かめることが日食観測隊の最大の課題だった。別稿「時空の曲がりと測地線」４．（４）［補足説明１］参照。
［補足説明１］
上記計算は太陽表面すれすれを通過してくる光線の屈曲量を求めるために Ｒ＝太陽半径 を代入したのであって、Ｒは本来太陽中心から任意の距離離れた方向から来る光線の屈曲量を求めるのに用いることができる。そのときには太陽中心からの距離をＲとすれば良い。
故に、別稿「一般相対性理論の古典的検証と歪んだ時空」§2-2-1図９グラフの関数曲線はθ∝１／Ｒ のグラフです。
だから、上記の関数形を仮定した上で最小二乗法（当然Ｒと共にその重みを変える）によって観測値の解析をする必要があります。
この観測遠征に付いては別稿で引用するチャンドラセカールの解説が秀逸ですのでご覧下さい。
［補足説明２］
別稿で説明した様に、この日食を用いる方法は精度を高めるのが非常に難しい。そのため、今日では準星（クェーサー）が太陽の側を通過するのを観測する方法が用いられている。こちらでは誤差1％以下の極めて高い精度でアインシュタイン理論の予測値が確かめられている。
その当たりにつきましては別稿「一般相対性理論の古典的検証と歪んだ時空」§2-2-2をご覧下さい。
ここはシュワルツシルド解の外部重力場に於いての説明でしたが、もちろんどのような重力場であろうと、時間の進みは遅くなります。
上記のシリウスからのスペクトル線の観測ですが、実際の測定は困難を極め、少なからぬ紆余曲折がありました。その事に関しては別稿のシアマ文献 p087～、あるいはp090～をご覧下さい。また、別稿「コンパクト星発見物語」４．（３）補講Ⅰをご覧下さい。
［補足説明１］
この赤方偏移の決定的な測定はパウンドとレプカ（1960年）、パウンドとスナイダー（1965年）によって、γ線によるメスバウワー効果を用いて達成された。このことに付いては別稿「一般相対性理論の古典的検証と歪んだ時空」§2-1-2、及び別稿「バークレー力学」p484～をご覧下さい。
上記「バークレー力学」でも説明されている様に、このγ線実験は重力場中で時間の進み方が遅くなるという一般相対性理論の効果を示していると同時に、光子も重力質量を持ちその値が慣性質量の値に等しいことを示す実験であるとも言える。
もちろん光子の静止質量は0ですが、光速で動く光子はそういった質量を持っていると言えるわけです。
そのとき光子の速度とは光子が進んでいるその空間に設置されている物差棒とそこに設置されいる時計で測った速度のこのことですし、それは常に一定の値ｃです。
本稿は文献1．の第7章からの引用です。感謝！
