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中野董夫著「相対性理論」岩波書店(1984年刊)のp177〜197より引用

 ここは最も大事な所であると同時に最も解りにくいところです。様々な方の説明を参照されて下さい。ランダウ、リフシュツ「場の古典論」第10章“重力場の中の粒子”、内山文献1977年第X章1978年§1や、藤井文献1979年第4章§19、藤井文献「世界大百科事典」などと比較してみられたし。


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182  以下は内山文献の説明も参照されたし。また、別稿「基底ベクトル双対基底ベクトル」3.(6)[補足説明]4.(6)も参照。





補足説明1
 上記(9.2)式は時刻が場合にのみ適用できることに注意。時間が経過した時刻や場所についてはこの式は使えません。
 一定重力場の場合に任意の時間と場所に関して成り立つ“線素の表現式”(任意の時刻と場所におけるgijの表現)を求めるには、例えば石井俊全著「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版(2017年刊)p570〜579を参照して下さい。
 それによると


 上記座標変換式は別稿「双子のパラドックスと一般相対性理論(リンドラー座標)」5.(3)[補足説明3]で求めています。そこの(7)式がそれです。ただし係数αをそこではα/c2としています。また上記(7.12)式は、そこの5.(4)1.で求めていますのでそちらも参照されて下さい。

補足説明2 
 さらに補足します。上記で引用した石井文献の同じページに

と記されています。
 この事の意味は解りにくいと思いますが、これは別稿基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(5)2.[補足説明2]で説明したことです。
 そこの説明の
 《リーマン幾何学》は正にそういった幾何学なのです。つまりリーマン幾何学はある点に隣り合った空間を議論しますが、その隣り合った空間は元の点のユークリッド空間とは違う別のユークリッド空間なのです。そう考えて初めて隣の格子定数(計量テンソル)と比較することで、空間の歪みを表すことができる。
に注意して下さい。
 つまり重力場(物質の存在)によって歪んだリーマン時空の隣り合った点の接擬ユークリッド空間であるMinkowski時空の基底ベクトルは当然互いに異なっていますから、その二つを同一のMinkowski時空と見なすことはできません。この事については、4.(3)[例8]と、4.(3)[補足説明5]もご覧下さい。
 
 別稿[補足説明1]でも注意した様に、ここが一般相対性理論の数学で最も難しい所です。
 
 以下の説明も参照されて下さい。そのとき、図2の左右の図の関係については別稿のM・ウィル文献p41〜44や、ディヴィス文献4.(4)もご覧下さい。




 上記ゼクスル文献第3章“一般相対性理論の時空の概念”別稿で引用していますのでそちらをご覧下さい。


185  上記の事柄についてはランダウ、リフシュツ「場の古典論」第10章§81〜82を参照されたし。




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190  以下は内山文献の説明も参照されたし。下記の特殊相対性理論“運動方程式”を求めた方法はこちらを復習






補足説明
 上記(問題2)(問題3)の解答は下記の通り。

 



 ここの式変形については内山文献§19[補足説明]も参照されたし。クリストッフェル記号の一般的な座標変換は別稿「微分幾何学」3.(3)1.を参照。

192  以下は藤井文献§19の説明も参照されたし。



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 ラプラスの方程式(9.18)式とポアソンの方程式(9.19)式については別稿「ポアソン方程式(Poisson's equation)と波動方程式(wave equation)」を参照されたし。


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 下記の gμνμν=4 に付いてはこちらを参照





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