ミンコフスキーの４次元世界(1908年)

ＨＯＭＥ　　１．導入　　２．二次元時空（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）　　３．テンソル代数（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）　　４．特相対４元（１）（２）（３）　文献　［フレーム版］　　　　５．等価原理　　　　６．テンソル解析　　　７．一般相対論

ミンコフスキーの４次元世界

１．導入

　ヘルマン・ミンコフスキーはアインシュタインの特殊相対性理論に対してミンコフスキー空間と呼ばれる４次元的表示法を考案した。彼は1909年1月12日に45歳で早世しますが、それまでに特殊相対性理論に関係して三つの講演・著述を残した。　

　文献2と3.は、1911年にD.Hilbertが編集したミンコフスキーの論文集にも収録されている。この論文集は友であるHilbertがミンコフスキーの早世を惜しんで編纂したものです。
　また文献3.は1913年にA.SommerfeldとO.Blumenthalが編集した相対性理論の論文集にも収録されている。

　これらの論文は極めて難解です。そのため、最初に別稿で引用するBorn「相対性理論」第Ⅵ章をお読み下さい。その後で本稿をご覧になり、最後にミンコフスキーの論文をお読みになるのが宜しいかと思います。その際、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」も同時に参照されて下さい。

ＨＯＭＥ　　１．導入　　２．二次元時空（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）　　３．テンソル代数（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）　　４．特相対４元（１）（２）（３）　　文献　　　５．等価原理　　　６．テンソル解析　　　７．一般相対論

２．二次元時空

　この章は文献3．第2章§6“ミンコフスキーの４次元世界”（p47～57）からの引用です。ただし、少し改変しています。また節題は当方が適当に追記した。

（１）特殊ローレンツ変換と世界距離

［補足説明］
　ｓ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｕ² によって決まる“平坦な”４次元空間の計量は“擬ユークリッド的”と呼ばれる。これはｓ² に表れる４つの（実の）座標の2乗が全て同じ符号を持つ“ユークリッド的”な場合と区別するためです。
　また、後（３．（６）や４．（１）１．）で解る様に、この本ではミンコフスキー４次元時空の間隔をｓ²＝－ｘ²－ｙ²－ｚ²＋ｕ² で定めている。

（２）二次元時空における世界点・世界線と“尺度曲線”

［補足説明１］
　ここは解りにくい所なので補足する。まず上式を変形すると

となり、これをグラフにすると下図の様な直角双曲線になる。
　しかしこの式のままでは解りにくいので、下図の様に直交する光の世界線ＯＥとＯＨを取る。これは丁度ＸＵ軸を45°回転したものだから、その回転角45°を θ とすると下記の様な（ｘ，ｕ）と（ｅ，ｈ）の変換公式が得られる。これを用いると

　このときＡ点は常に2ｅｈ＝1を満足する点ですが、Ａ点（ｘ，ｕ）は常にｘ²－ｕ²＝１を満足する点であることが解る。実際、ｈ＝1／2ｅを変換公式に代入して計算すると ｘ²－ｕ² は常に１となることが解る。

つまり図の双曲線上の点Ａは常にｘ²－ｕ²＝1を満足する点なのです。
　このとき同様にしてｘ²－ｕ²＝2²、ｘ²－ｕ²＝3²、ｘ²－ｕ²＝4²，････を満足する双曲線が描けるが、これらの双曲線群がミンコフスキー時空の座標の長さを定める尺度曲線です。もちろんこれらの曲線は2ｅｈ＝2²、2ｅｈ＝3²、2ｅｈ＝4²、･･･・を満足する双曲線です。
　そしてこれらの尺度曲線に依って座標値を定めることが、以下に説明されているｘ²－ｕ²を用いて計量するということの意味です。

［補足説明２］
　上記の結論は以下の事を意味している。

　上記の様に光の世界線に対して共役に取った座標軸ＵＸ、Ｕ’Ｘ’、Ｕ”Ｘ”、･･･は、ｘ²－ｕ²＝ｘ’²－ｕ’²＝ｘ”²－ｕ”²＝･･･を計量として用いると互いに垂直な座標軸であり、任意の事象Ａの時空値を測定する座標系となる。
　そして、後で解るようにこれらの座標軸で測った座標値はローレンツ変換で結び付けられている。

（３）ローレンツ変換

［補足説明１］
　ここで上記の“等角をなす”について補足する。別稿「ローレンツ変換とは何か」３．（４）で注意したように、この事は光の世界線が直交している場合のみ言えることで、もし光の世界線を直交するように設定していなかったら等角にはならない。
　また、新しいｘ’軸とｕ’軸は上記の様に簡単に求まるが、問題はその軸上での目盛り(つまり尺度)がとうなるかです。このことについては２．（５）で説明される。

［補足説明２］
　ローレンツ変換を用いると

が常に成り立つ。そのためｘ’²－ｕ’²＝0なら当然ｘ²－ｕ²＝0が成り立つ。

（４）時間の相対性と因果律

（５）座標値の変換（“尺度曲線”）

［補足説明１］
　ここはミンコフスキー座標の解釈で最も重要なところであると同時に最も解りにくいところです。
　ここでは、Ａ’とＢ’という特殊な点しか確認していないが、Ｋ系とＫ’系で同じ事象を示すもっと一般的な点ＰについてＫ系での座標値とＫ’系での座標値がローレンツ変換によってどのように結び付けられているかを確認する必要がある。
　この点については別稿江沢文献の2.4.1が解りやすいので参照されたし。そこをご覧になれば解るように、図中の双曲線は、それと各座標軸の交点が同じ座標値であることを示す単なる補助線（“尺度曲線”）以上の意味はない。

　これらの式は、別稿江沢文献の2.4.1で求めた式（2.4.2）にｘ’＝1を、あるいは（2.4.1）式にｃｔ’＝ｕ’＝1を代入したものと同じです。

［補足説明２］
　後で示される第35図について補足する。

　上左図に於いて、直角双曲線の性質より四角形ＯｈＡｅと四角形Ｏｈ’Ａ’ｅ’の面積は等しいことが言えます。この事は、ＯＥ軸とＯＨ軸が直角ではない双曲線に付いても成り立つことが証明できます。例えばこの図の上で考えてみて下さい。
　次に上図右の平行四辺形ＯｘＣｕと平行四辺形Ｏｘ’Ｃ’ｕ’の面積が等しいことも言えます。なぜなら平行四辺形ＯｘＣｕの面積は四角形ＯｈＡｅの面積の2倍であり、平行四辺形Ｏｘ’Ｃ’ｕ’の面積は四角形Ｏｈ’Ａ’ｅ’の面積の2倍だからです。このことは、ＡＢＡ’Ｂ’が双曲線上の点だから対角線ＡＢ→対角線Ａ’Ｂ’の縮小率の逆数で対角線ＯＣ→対角線ＯＣ’を拡大していることからも明らかです。つまり、、平行四辺形ＯｘＣｕから平行四辺形Ｏｘ’Ｃ’ｕ’への変形はその面積が等しくなるように生じる。
　このことが尺度曲線上のＯＡの長さとＯＡ’の長さが等しく、ＯＢの長さとＯＢ’の長さが等しいことの意味です。また、それらの値を用いて得られる距離／時間＝ＯＡ／ＯＢ＝ＯＡ’／ＯＢ’＝ｃ（光速度）が常に同じ値になる（“光速不変の原理”を示す）ことの意味です。

（６）長さの縮み

（７）時計の遅れ

３．テンソル代数学

この章は文献3．第3章からの引用です。ただし、少し改変しています。また（１）（２）（３）（４）（９）節を細分した項の題目は当方が適当に追記した。

（１）指標記号、総和に関する規約、座標の変換

１．指標記号　　　　　　［目次へ］

２．総和に関する規約　　　　　　［目次へ］

３．座標の変換　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　4行4列の行列式の直接計算は面倒なので、１行目に関して余因数展開して確認する。

［補足説明２］
　ここで群について説明する。（岩波「理化学辞典」より引用）
　集合Ｇの任意の元a、bに関して算法(law of composition)c＝ab、c∈Gが定義され、次の3法則を満たすときＧは“群”であるという。
　
１．Ｇの任意の元a、b、cに対して(ab)c＝a(bc)となる(結合法則)
２．Ｇに元eがあって、Ｇの任意の元aに対しae＝ea＝aとなる。eをＧの単位元(unit element)という。
３．Ｇの任意の元aに対しある元a’がＧにあって、aa’＝a’a＝eとなる。a’をaの逆元といい、ふつうa^-1と書く。
　
　この3法則のもとでは単位元eもaの逆元a^-1も一意に定まる。さらに可換法則ab＝baが成り立つときは可換群という。算法が加法である可換群を加群という。群Ｇが有限個の元からなるときは有限群、そうでないとき無限群という。Ｇの部分集合ＨでＧの算法に関して群になるものをＧの部分群(subgroup)という。
　Ｇの任意の部分集合Ｓに対し、Ｓの元のべきＳⁿ(n＝0、1、…)全体はＳを含む最小の部分群である。これをＳによって生成された部分群という。ＳがＧの1つの元からなる場合は巡回群である。群Ｇの元の個数をＧの位数(order)といい、元aによって生成される巡回群の位数をaの位数という。
　環、体、線形空間などの代数系や線形変換などの変換は、いずれも“群”の性格をもつ。

（２）スカラー、ベクトル、テンソル

１．スカラー　　　　　　［目次へ］

［補足説明］
　空間の同一点を示す座標値は座標系が異なれば当然異なります。そのため、空間の同一点におけるｆ値が同一になるためには、f（ｘ）の関数形とf’（ｘ’）の関数形は異なります。上記のｆ’＝ｆはその関数形が等しいことを意味するのでは無いことに注意されたし。各座標系での関数形に各座標系での座標値を代入した値が等しいことを意味する。

２．ベクトル　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　上記の2箇所の赤波線部分について補足します。
　全空間にわたって同一の変換係数Ａ^h'_h で変換される場合（つまりＡ^h'_h が定数）であるユークリッド空間やミンコウスキー空間（擬ユークリッド空間）については両方の赤波線部が正しい。
　しかし、リーマン空間の様にＡ^h'_h が座標の関数となるような場合にはｘ^h 自身は反変ベクトル成分と見なすことはできなくなります。そのような空間ではｄｘ^h の方しか反変ベクトルの成分とは見なせません。このことは「テンソル解析学」６．（１）２．で説明していますので参照して下さい。

３．テンソル　　　　　　［目次へ］

すなわち、クロネッカーのデルター（単位テンソル）は１次の共変・１次の反変の混合テンソルです。

（３）テンソルの加法・減法・乗法および縮約

１．加法・減法　　　　　　［目次へ］

２．テンソルの性質　　　　　　［目次へ］

３．乗法　　　　　　［目次へ］

４．縮約・内積　　　　　　［目次へ］

（４）テンソルの商法則

１．商法則　　　　　　［目次へ］

２．商法則の応用　　　　　　［目次へ］

（５）相対テンソル（テンソル密度）

［補足説明］
　ここの定義の説明だけでは、何故相対テンソル（テンソル密度）なるものを導入しなければならなのか理解に苦しまれると思います。このことについては、シュレーディンガーの論文「時空の構造（Space-Time Structure）」（1950年）をお読み下さい。この論文は
　湯川英樹監修、内山龍雄訳「シュレーディンガー選集2」共立出版（1975年刊）
として訳本がありますので、これのp22～をご覧下さい。

［例１］

　ミンコフスキー時空に於けるローレンツ変換ではα＝1になることは３．（１）３．［補足説明］参照。ただし、一般のリーマン時空に置ける座標変換ではα＝1とはなりません。

［例２］

ε_ｋｊｉｈ　は4次（4階）共変相対テンソル、ε^ｋｊｉｈ　は4次（4階）反変相対テンソルです。“相対テンソル”（テンソル密度）は変換行列式(αやα-1など）が掛かることを別にすればテンソルと同様に変換しますが、普通のテンソルではありませんので“擬テンソル”という言い方がされる場合もあります。
　上記の様に成分が定義されていますのでｋｊｉｈの指数の全てについて交代（反対称）です。このように定義された相対テンソルのことを“Levi-Civitaのテンソル密度(相対テンソル)”と呼ぶ。

［補足説明］
　ε_ｋｊｉｈ　は4階共変相対テンソル、ε^ｋｊｉｈ　は4階反変相対テンソルですから、4×4×4×4＝256個の成分からなります。
　そのうちｋｊｉｈの指数に同じものを含む場合が全て0だということです。それが“その他の場合”として示されているものです。つまり、ｋｊｉｈの指数の全てが互いに異なるもののみが0以外の値を持つ。
　ｋｊｉｈの指数の全てが互いに異なる成分の数はその順列の数4×3×2×１＝4！＝24個です。その24個の成分の値を次のように決めている。ｋｊｉｈが1234から偶数回の指数の入れ替えでできる成分は+1に、ｋｊｉｈが1234から奇数回の指数の入れ替えでできる成分は－1にする。偶順列とは二つの指数の入れ替えを偶数回（０回も含む）行ったとき得られる順列のことであり、奇順列とは奇数回の入れ替えで得られる順列このとです。
　0以外の値を持つ成分の数は指数の数が4個の1234の場合4！＝4×3×2×1＝24通りの順列の数ですが、その全てを書き出すと下記のようになります。

　下図のピンク色が＋１、空色が－１です。それ以外はすべて0です。

結局、この“完全反対称相対テンソル”ε^ｋｊｉｈ の独立な成分は１あるいは－１の１つだけです。この事については別稿「対称テンソルと反対称テンソルの独立成分の数」２．を御覧下さい。
　
　“Levi-Civitaのテンソル密度”と行列式との関係をもう少し補足する。
　行列式

の値は行列式の計算で習うように

となる。ここで、上下に二度表れる指数については総和をとるという“アインシュタインの規約”を適用している。
　つまり行列式の値は“Levi-Civitaのテンソル密度”をつかって表現できる。さらにこの表現式を使えば行列式の性質の全てが簡単に証明できる。
　以下の説明で行列式を表すとき、“Levi-Civitaのテンソル密度”のこの性質を用いる。

［例３］

もう少し詳しく言えば完全交代(完全反対称）４階共変テンソルです。

もう少し詳しく言えば完全交代(完全反対称）４階反変テンソルです。

（６）基本計量テンソル

［補足説明］
　ここは何を言っているのか解りにくいが、要するに別稿「余因子行列と逆行列の関係」１．（３）で説明されている“余因子行列をもとの行列の行列式で割ったものは元の行列の逆行列になる。”という性質を利用して、ｇ_ｊｉの逆行列であるｇ^ｉｈを定義しているだけです。このようにして定義したｇ^ｉｈは次に証明されているように反変テンソルとなります。

（７）随伴テンソル（指数の上げ下げ）

つまり、任意のテンソルに“基本計量テンソル”を乗じることによって生じるテンソルをもとのテンソルに“随伴なテンソル”と言う。

　そして、“基本計量テンソル”とは“ミンコフスキー空間”の性質を表すテンソルで、別稿「微分幾何学」３．（２）２．［補足説明３］で説明したのと類似な(今はそこと違って微小変位ベクトルではなく変位ベクトルによる)手順

で導入定義されたもの以外の何者でもありません。

（８）双対テンソル

上記ソンソル　ｅ_kjih　と　ｅ^kjih　については３．（５）［例３］を復習されたし。
　“随伴という操作”を計量テンソルで行ったが、似たような操作を上記のテンソルで行ってみようと言うことです。

　つまり、任意のテンソルにｅ_ｋｊｉｈ、あるいはｅ^ｋｊｉｈを乗じる事によって生じるテンソルをもとのテンソルに“双対なテンソル”という。

［補足説明０］
　ここで注意して欲しい事は、任意のテンソルに基本計量テンソルを乗じてもとのテンソルに“随伴なテンソル”にしたからと言って、それが元のテンソルとは異なった幾何学的・物理的な別なテンソルに成るわけではありませんでした。
　それと同様に、任意のテンソルに　ｅ_ｋｊｉｈやｅ^ｋｊｉｈ　を乗じてもとのテンソルに“双対なテンソル”にしたからと言って、それが元のテンソルと幾何学的・物理的に別なテンソルに成るわけではありません。
　このことについては別稿「アインシュタイン著「一般相対性理論の基礎」（1916年）」Ｂ．（11）３．［補足説明１］をご覧下さい。要するに、幾何学的・物理的に同一のテンソルを表現するための座標系（基底ベクトル・双対基底ベクトルの間の変換を含めて）を替えてみると言うだけです。
　ここで説明した事の意味は４．（２）２．［補足説明４］の例をご検討頂ければ了解して頂けると思います。そこのＦ_ｊｉ＝Ｔ_ｊｉと、その双対なテンソル^＊Ｆ^ｊｉは全く同一の電磁場テンソルを表しています。ただ、その成分表示状況が異なるだけです。

［補足説明１］
　そうなることは、ε_ｋｊｉｈ について３．（５）［補足説明］の順列

を参照したらすぐに解ります。ε_ｋｊｉｈの添字ｋｊｉｈの中に同じものがある成分はすべて0となるのだから、添字がすべて異なる成分の項のみを考慮すれば良い。
　実際

となる。
　３次の交代共変テンソルとは、 ^*Ｔ_ｉｊｋにおいて指数ｉｊｋの中に同じ数字の並びがあるものは全て 0 となり、指数ｉｊｋの任意の入れ替えで符号が逆転するものです。だから独立な成分は 4×3×2／3×2×1＝4個の成分しか在りません。上記の4個がそれに相当します。詳しくは４（２）２．［補足説明２］を参照されたし。
　^*Ｔ_ｉｊｋは３階テンソルなので、行列形式で表示することはできません。

つまり、（0，3）型でしかも交代なテンソルに“双対なデンソルを作る操作”を施せば（1，0）型テンソルとなる。

［補足説明２］
　そうなることは３．（５）［補足説明］の順列を参照したらすぐに解る。ただし、２回表れる指数については“アインシュタインの規約”に従って和を取っていることに注意。3組の指標に対して和を取っているので3！で割っている。
　例として ^*Ｔ¹ を計算してみると

となります。他の ^*Ｔ²、^*Ｔ³、^*Ｔ⁴ も同様です。
　これは１階のテンソルなので行列表示できる。

つまり、（2，0）型でしかも交代のテンソルに“双対なデンソルを作る操作”を施せば（0，2）型の交代テンソルとなる。

［補足説明３］
　これは２階テンソルなので行列表示できる。
　同じ指数が２回表れるものについては“アインシュタインの規約”に従って和を取ることに注意して、ε_ｋｊｉｈ についての３．（５）［補足説明］順列一覧表を参照しながら、書き記すと

となる。2！で割るのは、“アインシュタインの規約”に従って2組の指標に対して和を取っているからです。
　このとき、2階反対称(交代)テンソルの独立な成分の数は6個である事に注意されたし。
　また、この重要な例を４．（２）２．［補足説明４］で見るでしょう。

つまり、（0，2）型でしかも交代のテンソルに“双対なデンソルを作る操作”を施せば（2，0）型の交代テンソルとなる。

（９）テンソルの微分・勾配・発散・回転

［補足説明１］
　ここでは、座標変換の変換係数Ａ^h'_ｈは座標ｘ^ｈ’やｘ^hに依存しない定数であることに注意。もちろん座標変換係数は、座標系ｘ^h'と座標系ｘ^hが異なれば変化しますが、座標値そのものには関係しないと言うことです。そのため任意のテンソルをその座標ｘ^h'やｘ^hで偏微分したものも、そのまま（共変指数が１つ多い）テンソルになります。
　
　ただし、この様なことが言えるのは、“特殊相対性理論”のローレンツ変換に従うミンコフスキー時空座標の様に変換係数が（Ｖの関数ではあるが）座標の関数でない場合です。
　第6章、第7章で議論する“一般相対性理論”で取り扱う座標変換（変換係数は座標の関数となる）の場合には、“微分”あるいは“微分係数”の定義をもっと拡張（そこでは“共変微分”と“共変微分係数”と呼ばれる）しないと、座標で偏微分したものが、そのままテンソルの性質を保持することはありません。この当たりは６．（１）３．および６．（３）、あるいは別稿「微分幾何学」３．（３）を参照して下さい。
　
　だから、以下第4章までの議論は特殊相対性理論の範囲に限った話であることを忘れないで下さい。

１．勾配　　　　　　［目次へ］

２．発散　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　ここの説明は解りにくいので補足する。
　前半で述べている∂_ｉｖ^ｋ は、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．(４)６．で説明した“直積”による操作で生じるテンソルを意味します。つまり、共変ベクトル（∂₁，∂₂，∂₃，∂₄）と反変ベクトル（ｖ¹，ｖ²，ｖ³，ｖ⁴）の直積で一つの混合テンソルＴ_ｉ^ｈができる事を意味している。すなわち

のことです。以下の説明に於いて指数が異なるものが並べて記載されている場合は、常にその様に考えて下さい。
　
　一方、後半で述べている∂_ｉｖ^ｉ は、共変指標の編微分操作と反変ベクトル（ｖ¹，ｖ²，ｖ³，ｖ⁴）の反変指標の縮約ですから、スカラーとなります。その様な操作を“発散”と呼んでいるのです。

［補足説明２］　
　微分操作の共変指数は反変指数とでないと縮約できませんから、後半で述べた“発散”は反変ベクトルに対してしか定義できません。だから、共変ベクトルの“発散”を考えるには、あらかじめ共変ベトクルに反変計量テンソルｇ^ijを乗じて反変ベクトルにしておかなければ成りません。この当たりは別稿３．（２）［補足説明５］などで説明しました。
　
　それに対して前半で述べた“直積”という微分操作は反変ベクトルに対しても共変ベクトルに対しても定義できます。反変ベクトルに対して行うと2階混合テンソル ∂_ｉｖ^ｋ となります。また共変ベクトルに対して行なうと、次項の最初に述べられている∂_ｊｗ_ｉ のように2階共変テンソルとなります。

３．回転　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　上記の “Ｔ_ｊｉが交代テンソル場であれば ∂_kＴ_ｊｉ＋∂_jＴ_ｉk＋∂_iＴ_kｊは交代テンソル場となる。”の証明は以下のとおり。
［証明］
　まず、∂_ｋＴ_ｊｉが3階共変テンソルになることは上記［補足説明］と同じように考えればよい。次に同形（3階共変テンソル)の三つの成分要素を加えたものは同型（3階共変テンソル）となることは３．（３）１．“加法・減法”より明らか。
　次にこれが交代テンソルになることを証明する。

［証明終］
　ここは何を言っているのか解りにくいと思いますので、４．（２）２．の具体的な例をご覧の後にもう一度振り返られてください。

［補足説明２］
　ミンコフスキー時空よりも一般のリーマン時空では、ｇ_ｊｉ，ｇ^ｊｉは座標の関数となり定数ではなくなります。そのとき、リーマン時空では［補足説明１］で注意した様に、微分の概念も普通の意味では成り立たなくなり、“共変微分”というものに拡張しなければならなくなります。
　共変微分に拡張すると、ｇ_ｊｉ，ｇ^ｊｉが定数でなくとも、［ｇ_ｊｉ，ｇ^ｊｉによる指標の上げ下げ］と［“共変微分”演算］とは交換可能です。このことは６．（３）６．で証明します。

４．テンソル代数学の特殊相対性理論への応用

この章は文献3．第4章の引用です。解りやすくなるように少し改変しています。また各節を細分した項の題目は当方が適当に設定した。

（１）相対論的運動学

１．線素と固有時　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　ミンコフスキー時空は4次元空間であるが平坦で一様な空間です。つまり計量テンソルｇ_ｊｉが全空間にわたって変化せず同一です。そのため“擬ユークリッド空間”と言われる。
　擬と付いているのは、計量テンソルｇ_ｊｉがユークリッド空間の場合と異なるからです。この言い方については２．（１）［補足説明］も参照されたし。

［補足説明２］
　ユークリッド空間では距離は負の値を取ることはないが、ミンコフスキー時空の世界距離の2乗は正、負、0のいずれの値も取ることがある。そのため距離の2乗をｓ²で定義しても－ｓ²で定義しても良い。
　教科書により次の様に定義しているものも多い。

　この様に定義すると基本計量テンソルは、本稿とは符号が反転して

となります。
　このように定義した場合には、ミンコフスキー時空の基本計量テンソルの性質から、反変ベクトルと共変ベクトルの違いは第4成分の符号が異なるだけとなります。
　もちろん時間座標を第0成分、空間座標を第1～3成分としている場合は、第0成分の符号が異なるだけとなります。

２．４元速度ベクトル　　　　　　［目次へ］

　３．（９）節の最初で述べた微分係数の定義を思い出されれば明らかな様に、不変量による微分（時間微分のような）ではそのテンソルの階数は変わらずそのままです。
　つまり反変ベクトル（座標ベクトル）の時間微分はそのまま反変ベクトル（速度ベクトル）になります。

　４元速度については別稿「４元速度（４元運動量、４元電流密度）、４元加速度と４元力」２．も参照されたし。

３．４元加速度ベクトル　　　　　　［目次へ］

（２）電磁方程式のテンソル方程式化

　ただし、、本稿では“有利化Gauss単位系”（ローレンツ・ヘヴィサイド単位系）で論じられています。“有利化”されているために、4πの付き方が上記別稿と異なります。
　この単位系については別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」５．（４）２．をご覧下さい。

１．電磁ポテンシャル　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　（－Ａ_ｘ，－Ａ_ｙ，－Ａ_ｚ，φ）で定義する４元共変ベクトルがローレンツ逆変換と同じ変換を満たすことは証明が必要です。そのことは、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」３．（１）を参照して下さい。ただし、そこではローレンツ変換に従う“４元反変ベクトル”として定義しています。
　また、ここの“４元共変ベクトル”との関係は、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」３．（１）［補足説明５］を参照して下さい。
　そこと同じ共変ベクトルなのに、そこでは正負の符号が反対になり、φにｃが掛かっています。そうなるのは第４成分の定義、及びミンコフスキー時空の計量テンソルの定義が本稿と違うからです。また単位系（有理化と非有理化）の違いも影響しています。

［補足説明３］
　上記の“電磁場テンソル”の“交代共変テンソル成分表示” Ｆ_ｊｉ を行列表示すると

となる。

２．マクスウェル方程式系の４元化（その１）　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　ここでまず、“Ｆ_ｊｉが交代テンソル場であれば ∂_kＦ_ｊｉ＋∂_jＦ_ｉk＋∂_iＦ_kｊは交代テンソル場となる。”は３．（９）３．［補足説明１］で証明した。
　このとき注意して欲しいのですが、これは3階共変テンソルなので2階テンソルの様に“行列表現”で表すことはできません。また、“テンソル方程式”を４．（２）３．の ∂_ｊＦ^ｊｉ＝ｓ^ｉ の様な列ベクトル（演算子）と行列の積の形で表すこともできません。
　このテンソルは4×4×4＝64個の成分を持ちます。その（ｋ，ｊ，ｉ）成分Ｔ_ｋｊｉ が ∂_ｋＦ_ｊｉ＋∂_ｉＦ_ｋｊ＋∂_ｊＦ_ｉｋ であるということです。そして、上記のテンソル方程式は、その全ての成分が 0 であることを示している。
　
　また上記の“４次元のテンソル方程式の右辺が 0 ならば、このテンソル方程式はローレンツ変換不変な式である。”についてですが、３．（２）３．の後半で説明したように、テンソルが 0 である事はどの座標から見てもかわりませんから、上記のマクスウェル方程式はローレンツ変換不変になります。
　
　さらに、“方程式がテンソル形式で表されていたらローレンツ変換に対して不変である。”についてですが、それはもともとテンソルとは座標変換（あるいは座標逆変換）と同じように変換されるものだからです。このことについてはこちらも参照。そのとき、テンソルやベクトルの物理方程式中での関係で、共変と反変の区別が出てきたのでした。この当たりは別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（１）～（４）の説明をご覧下さい。

［補足説明２］
　上記のＴ_ｋｊｉ＝∂_ｋＦ_ｊｉ＋∂_ｉＦ_ｋｊ＋∂_ｊＦ_ｉｋ についてもう少し補足します。これは64個の成分を持つと言いましたが、指数ｋｊｉの任意の２つを入れ替えるとその符号が逆転する“完全交代テンソル”です。それはＦ_ｊｉが“交代テンソル”だからです。２階共変テンソルＦ_ｊｉが交代テンソルならばＴ_ｋｊｉ＝∂_ｋＦ_ｊｉ＋∂_ｉＦ_ｋｊ＋∂_ｊＦ_ｉｋが完全交代の３階共変テンソルになることは別稿「ミンコフスキーの４次元世界」３．(９)３．［補足説明１］を参照して下さい。
　そのとき、Ｔ_ｋｊｉの指数だけを取り出して全て並べてみると

となります。このとき、同じ指数を持つ成分（図でピンク背景を持つもの）は、Ｔ_ｋｊｉが完全交代テンソルであることから全て 0 になります。そのため残るのは24成分となります。

残った24成分のなかで、任意の二つの数字を入れ替えただけのものは符号が逆転するだけですから、もとのテンソル方程式の形（右辺が0となる）としては独立では無いので取り除けます。図で水色の背景を持つものがそうです。結局残ったものを書き出すと以下の12成分になります。

この中で黄色の背景を持つものは左端の添字を循環的に入れ替えたものです。もとのテンソル方程式の形から明らかなように、これらは左端と同じになります。このことは、黄色の背景を持つものは添字の入れ替えを２回繰り返えすと左端に一致するので、その反対称性から２回の符号の逆転で元に戻ることからも明らかです。
　結局独立な成分は左端の指数を持つ４個だけになります。これが最初のMaxwell方程式の４式です。このことについては別稿「対称テンソルと反対称テンソルの独立成分の数」２．（２）もご覧下さい。
　これは１２３４の4個の数字から順番を考慮することなく３個を選ぶ組み合わせの数 ₄Ｃ₃＝4×3×2／3×2×1＝4 です。

［補足説明３］
　４．（２）１．で述べたように電磁ポテンシャル（－Ａ_ｘ，－Ａ_ｙ，－Ａ_ｚ，φ）は４元共変ベクトルだから（φ₁，φ₂，φ₃，φ₄）＝φ_ｉと置ける。そのとき３．（９）３．で説明したように、共変ベクトル場を微分したものを下記の様に組み合わせたものは４元の“回転”と呼んで交代（反対称）2階共変テンソル場となるのでした。ここで取り上げたMaxwell方程式中の電磁場テンソル（４．（２）１．［補足説明３］参照）は、まさにその例です。

　このとき、これを用いて前記の［補足説明２］で説明した指数の組み合わせからなる3階共変テンソルを作ってみれば、それは恒等的に0となることが解ります。実際、

が直ちにいえる。
　さらに、このとき構成される3階共変テンソルが交代（反対称）テンソルであることも簡単に証明できます。実際一つの要素について計算して見ると

となります。他の3要素についても同様に証明できます。
　いずれにしても、このように構成された3階共変交代（反対称）テンソル方程式は、マクスウェルの方程式

そのものを表している。
　つまり、電磁ポテンシャルが基本的な物理量であり、電磁場が本節の最初４．（２）１．で述べた式により定められるものならば、マクスウェル方程式中の上記の二つは、電磁ポテンシャルによる電磁場の定義式から演繹的（数学的）・恒等的に直接導かれる。この立場では、物理的に意味があるのは次項で述べる２つの式（第２の組）だけということになる。（吉田伸夫著「完全独習相対性理論」講談社のp125参照）
　
　もちろん上記２つの方程式が無意味だと言うことではなくて、最初の電磁ポテンシャルによる電磁場の定義式そのものが上記２つの式が示しているＥとＨの間で成り立つ物理法則を表しているのだからMaxwell方程４式中の上記２つは電磁ポテンシャルによる電磁場の定義式に置き換えられるということです。
　ここの話は、別稿「Maxwell方程式形の先見性と電磁ポテンシャル」１．で説明した、Maxwellが“Ｔreatiseの§615”に書き残した深謀遠慮に関係します。

［補足説明４］
　上記の Ｆ_ｊｉ に“双対なテンソル” ^*Ｆ^ｋｈ については３．（８）［補足説明４］をご覧下さい。Ｆ_ｊｉ が交代共変テンソルですから、 ^*Ｆ^ｋｈ も交代反変双対テンソルになります。
　具体的に書いてみると

となりますが、この形にすると、共変ベクトル（演算子)の列ベクトルと反変テンソルの行列を乗じて縮約した“行列表現”でベクトル方程式が表せます。

　ここで、Ｆ_ｊｉ＝Ｔ_ｊｉと、その“双対なテンソル”^＊Ｆ^ｊｉは全く同一の電磁場テンソルを表しています。ただ、その成分表示状況が異なるだけです。このことの意味については３．（８）［補足説明０］をご覧下さい。

３．マクスウェル方程式系の４元化（その２）　　　　　　［目次へ］

［補足説明１］
　ここの計算は行列の積の形で表してみると解りやすい。すなわち

であるが、

すなわち

である。このとき

となる。
　ここで注意して欲しいことは、上記の計算を

のようにすると

となることです。
　つまり（Ｆ_ｊ^ｉ）と（Ｆ^ｊ_ｉ）はまったく異なったものになります。そしてこれらは対称テンソルでもなければ交代テンソルでもありません。

［補足説明２］
　さらに補足します。ここで導いた電磁場テンソルの共変成分表現と反変成分表現は別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」５．（２）［補足説明１］で導いた反変テンソル、あるいは５．（２）［補足説明２］で導いた共変テンソルとちょうど符号が逆になっています。また第4列目と第4行目にｃや 1／ｃの違いがあります。これらは、いずれもミンコフスキー時空の“基本計量テンソル”の定義の違いから生じることです。
　以下の４元ベクトルの表現の違いもそこから生じます。このことについては、４．（１）１．［補足説明２］を復習されたし。

４．電荷保存則　　　　　　［目次へ］

５．ローレンツ力　　　　　　［目次へ］

　ここの説明は見通しが悪いので別稿のこちらを参照されたし。ただし、そこでは反変ベクトルと電磁場混合テンソルを用いた表現になっています。また計量テンソルの定義の違いもありますので、そこは注意して下さい。

　同様に共変計量テンソルｇ^ｈｉを乗じることによって共変型の電磁場テンソルＦ_ｊｉを混合型のテンソルＦ_ｊ^ｉにすることができますので

の形で“ローレンツの力の法則”を表現することもできます。
　実際、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（２）で求めた表現はこちらのタイプです。そこでは４元電流ではなくて４元速度を用いており、［1行4列表示］ではなく［4行1列表示］であり、単位系は非有利化Gauss単位系であり、計量テンソルは空間部と時間部の符号を逆にした定義を用いてる違いはありますが、同じタイプの“ローレンツの力の法則”です。

［補足説明］
　４元力の反変表現と共変表現をまとめておくと

となる。
　本稿ではベクトルの反変表現と共変表現は、その第1～3成分の符号が異なります。このとき４．（１）１．［補足説明２］で注意したように、ｓ²の定義をｓ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｃ²ｔ²で定義すると第4成分の符号が異なることになります。

６．電磁エネルギー運動量テンソル　　　　　　［目次へ］

　ここでは、４元表示したMaxwell方程式を用いて一気に計算しています。一気に計算している分明快なのですが、その分何をしているのか解りにくい。別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」６．では、スカラー方程式とベクトル方程式を別々に計算して最終的に統合しています。そちらの計算の方が解りやすいと思います。

［補足説明１］
　ここで注意して欲しいのですが、ｇ_ｊｉ、ｇ^ｊｉ は“対称テンソル”であり、 Ｆ_ｊｉ、Ｆ^ｊｉ は“交代（反対称）テンソル”ですが、 Ｆ^ｊ_ｉ、Ｆ_ｊ^ｉ は対称テンソルでも、交代（反対称）テンソルでもありません。
　そのため、成分計算を“行列演算”のやり方で実行するときには、その当たりを見極めながらする必要があります。

［補足説明２］
　更に補足しますと、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（４）７．で注意したように基本計量テンソル（これは本稿独特なかなり特殊な定義です。普通は正負の符号はこの逆が多い。）

を任意のテンソルに乗じることで、反変・共変を変換することができるのでした。
　このとき、ミンコフスキー時空の場合には、たまたま基本計量共変テンソルと基本計量反変テンソルは一致しますが、一般のリーマン空間（時空）ではそうなりません。
　実際に、そうなっていることは４．(２)３．［補足説明１］で求めた

に、基本計量テンソルを乗じて確かめる事ができる。

例として実際に一つ計算してみると

となります。他も同様にして計算できます。

　ただし、ここでもＦ^ｊ_ｉとＦ_ｊ^ｉは互いに異なったｊｉ成分～を持つことに注意して下さい。

［補足説明3］
　上記の計算を別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」５．（２）や６．(４)の計算と比較するときは、“４元ベクトル”の定義や“基本計量テンソル”の定義がここと違っていることに注意して下さい。
　実際、そちらの稿では“４元ベクトル”の定義を下記右側のものを利用しています。（左側が普通良く使われる定義です。なぜ左側が良く使われるのかといいますと、第４成分にｃを掛けたものを用いるとすべての成分の次元を同じにすることができるからです。しかし、本来第４成分は第１～第３成分とは次元的に全く異なるものですから、上記別稿ではあえて右側のような次元の統一をしない形で論じています。そちらの方が理解しやすいと思うからです。左側表現について更に補足しますと、本稿の電流密度の定義は特殊で第１～第３成分をｃで割ってその次元を第４成分の次元である電荷密度に合わせています。）

ただし、これらは反変ベクトル表示の場合です。そのため添字のｘ，ｙ，ｚは右肩に書くべきかも知れません。
　共変ベクトルの場合は上記右側の表現の第４成分に－ｃ^２を乗じたものになります。（左側が普通良く使われる定義ですが、本稿では、特殊な計量テンソル定義を用いているため、普通の定義と符号が逆転しています。）

　そのため、“ローレンツ変換式”の表現も下記右側のものを使用しています。Ｓ’系のＳ系に対する移動速度をＶとしています。Ｓ’系はＳ系のｘ軸に沿って、その正方向へＶで動くとしている。

　そのため“ミンコフスキー時空”の“基本計量共変テンソル”と“基本計量反変テンソル”も下記右側の特殊なものを用いています。（左側が普通良く使われる定義ですが、本稿の定義は特殊でこれとは違うことに注意して下さい。）

　これらの取り決めにより、種々の４元量の第４成分に表れる“ｃ”や“1／ｃ”の付き方が本稿と違ってきます。
　特に、ここで示されている電磁場の２階テンソルの成分 Ｆ_ｉｊ，Ｆ^ｉｊ，Ｆ^ｉ_ｊ，Ｆ_ｉ^ｊ　の表現が、上記別稿５．（２）［補足説明２］で示した様に

となります。本稿の表現と比較してみて下さい。
　そのとき、以下の関係式はもちろん同じ様に成り立ちます。

［補足説明４］
　上記のことについては、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」６．（４）［補足説明１］を参照されたし。両辺の左側から“基本計量反変テンソル” ｇ^ｊｉ を乗じて縮約するだけです。その際、ミンコフスキー時空の ｇ^ｊｉ は定数ですから ｇ^ｊｉ による指標を上げる操作と微分演算子 ∂_ｉ は交換可能であることに注意されたし。
　ただし、“行列表示”でｇ^ｊｉ と縮約したり、微分演算ベクトル　∂_ｉ と縮約するときは Ｔ^ｊ_ｉ と Ｔ_ｊ^ｉ の違いや Ｔ^ｊｉ＝Ｔ^ｉｊ に気をつけて行う必要があります。　以下で、Ｔ^ｊ_ｉ 、 Ｔ_ｊ^ｉ 、 Ｔ_ｊｉを導いておきます。４．（２）６．［補足説明２］で電磁場テンソルに対して行ったのと同様な手順に従えばよい。すでに求めた　Ｔ^ｊｉから

となる。このとき Ｔ_ｊｉ，Ｔ^ｊｉ　は“対称テンソル”ですが、 Ｔ^ｊ_ｉ，Ｔ_ｊ^ｉ　は対称テンソルでもなければ交代（反対称）テンソルでもないことに注意して下さい。
　これらの表現は、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」６．（４）と少し違いますが、それは計量テンソルの定義の違いによる。

７．エネルギー保存則と運動量保存則　　　　　　［目次へ］

［補足説明］
　ここの４．（２）６．から７．への説明は見通しが悪い。
　別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」６．で、古典的な（つまり相対性理論以前の）電磁気学から出発して、ここと逆の順番で同じことを説明していますので、ご覧下さい。また、ランダウ、リフシュツ「場の古典論」第4章§32、§33も最小作用の原理から出発して見通しよく説明されていますので会わせてご覧下さい。
　ただし、これらの参照先は“非有利化Gauss単位系”を用いて展開されていますので、式の中に4πが表れてきます。また“基本計量テンソル”の定義がここと異なっています。その当たりに注意してお読み下さい。

（３）相対論的力学

［補足説明１］
　“方程式がテンソル形式で表されていたらローレンツ変換に対して不変である。”についてですが、もともとテンソルとは座標変換（あるいは座標逆変換）と同じように変換されるものだからです。このことについてはこちらも参照。
　ただし、そのときテンソルやベクトルが物理方程式の中でどの様に関係するかで、共変と反変の区別が出てきます。この当たりは別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（１）～（４）の説明をご覧下さい。

１．質点の運動方程式　　　　　　［目次へ］