ここでは、ランダウ・リフシュツ著「場の古典論」東京書籍(1964刊)§32〜§35の“エネルギー・運動量テンソル”に関連した部分をそのまま引用しています。別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」6.(4)の続きとしてお読み下さい。
物理学の定理に“ネーターの定理”というものがあります。“系に連続的な対称性が在る場合それに対応する保存則が存在する”という定理です。具体的には、“時間の一様性からエネルギー保存則が導かれ、空間の一様性から運動量保存則が導かれる”と言うものです。
ネーターがどの様に証明したのか知らないのですが、このことの説明は例えばランダウ・リフシュツ著「力学」に書かれています(§6と§7および§9を参照)。この記述はランダウ流の説明でしょうが、それなりにもっともらしく書かれています。
そこで、エネルギー・運動量テンソルに戻るのですが、ネーターの定理で言うエネルギー保存則は時間の一様性に基づいていました。また運動量保存則は空間の一様性に基づいていました。ならばミンコフスキー時空の一様性からエネルギー・運動量テンソルの存在を一気に導けないのでしょうか? ランダウ・リフシュツ著「場の古典論」§32に、それは可能だと書かれています。
私自身がその詳細を完全に理解できているとは言い難いのですが、その部分を以下で紹介します。少し改変しています。
第1章 相対性理論
第2章 相対論的力学
第4章 場の方程式
§026.マクスウェル方程式の第1の組
§027.電磁場の作用函数
§028.4元電流ベクトル
§029.連続の方程式
§030.マクスウェルの方程式の第2の組
§031.エネルギーの密度と流れ
§032.エネルギー・運動量テンソル
§033.電磁場のエネルギー・運動量テンソル
§034.ヴィリアル定理
§035.巨視的物体のエネルギー・運動量テンソル
以下で用いる(6.12)式については「場の古典論」第1章§6をご覧下さい。
上記『力学』§10はこちらを参照。
最後の式 p=nmv2/3 については別稿「音速の理論2」1.(1)あるいは「光りの圧力」3.(2)[補足説明1]参照。