この稿は「ファインマン物理 第Ⅲ巻“電磁気学”」 §13-6 “電磁場の相対性”（p166～171）からの引用です。ただし、解り易くするためにかなり改変しています。章、節の題目は当方が適当に追記しました。
電磁気学の公式は単位系により係数が変化します。ここでは高校物理で使用するMKSA有理化単位系（E-B対応系）（ＳＩ単位系）で記述しています。Feynmanはさらにμ0＝1／ε0ｃ2 と置き直している。（詳細は別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」を“ファインマン”のキーワードで検索して見て下さい）
［補足説明１］
この稿では簡単化して、［粒子ｑ（負電荷）の速度］と［伝導電子（負電荷）の速度］が同じ値ｖであるとしている。両者の速度が異なる一般の場合は５．［補足説明２］、あるいは別稿、Purcell「電磁気学」第５章§9を参照。
また、導線（針金）に対して静止している系（Ｓ系）から見たとき、たとえ電流が流れていても導線（針金）は帯電していないとしている。電流が流れるとき正・負のどちらかに帯電する場合もある（例えば交流電流など）が、ここではＳ系での条件としてその様にします。
Ｓ系から見たときにすでに帯電している場合は、３．(３)３．［補足説明４］と５．［補足説明２］をご覧下さい。
この稿では、＋、－の添え字の付いている記号（ρ+、ρ-、ρ+’、ρ-’、ｖ+、ｖ-、ｖ+’、ｖ-’）は、正負の符号も含ませている。それ以外の記号はｖのように絶対値を意味したり、ｑ やＩ の様に正・負を含ませたり色々です。そのためＥやＢの成分表示のとき符号に注意してください。
この式については別稿「マクスウェルの応力」３．(１)２．を参照。そこで、Ｂ＝μ0Ｈ＝Ｈ／ε0ｃ2と置けば上式が得られる。
動いている物体が縮んで見える事は、別項「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」２．（６）１．や「ローレンツ変換とは何か［Einsteinのローレンツ変換導出法（1905年）への補足］」２．（２）３．などを復習されたし。
［補足説明１］
上記青アンダーライン“まえにみたように”はこちらのことを指している。
ここで説明している“電荷の不変性”については別項「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」３．（４）［補足説明５］や「相対論的力学」３．（５）を復習されたし。
そのことの実験的検証についてのより詳しい説明は別稿Purcell「電磁気学」§5-4を参照されたし。
“質量”の相対性と“電荷”の不変性（絶対性）については別稿Einstein「わが相対性理論」第2部§19［補足説明１］も参照。そのなかのBornの見積もり計算も参照されたし。
正電荷は針金と共に動くので、正電荷の間隔は針金の縮みと同じに生じる。故にＳ’系から見た正電荷の電荷密度は針金の縮む割合で割った式（13.24）になる。すなわち正電荷の電荷密度は増大する。
また、正電荷はＳ’系に於いては左向き（ｘ’軸の負の方向）に動いているから電流 Ｉ ’を構成し、針金の周りにビオ・サバールの法則に従った磁場Ｂ’を作る。その磁場成分Ｂy’は２．（１）と同様に求めることができる。
Ｓ系では負電荷の並びは速度ｖで右方向（ｘ軸の正の方向）に動いている。だから負電荷の間隔は本来の間隔よりも縮んでいる。Ｓ’系に移ると負電荷の速度がゼロになるので本来の間隔にもどるのです。
そのとき、注意して欲しいことは、針金の伸び縮みとは独立に負電荷間隔は伸び縮みすることです。Ｓ系からＳ’系に移ると針金は縮んで見えるが、その縮みに負電荷密度の変化は影響を受けない。そうなることの理由は、別稿「ローレンツ変換とは何か」３．（２）［補足説明４］を復習すれば解ります。
［補足説明１］
別稿「相対論的力学」３．（５）で電荷密度ρと電流密度（ｊx，ｊy，ｊz）のローレンツ変換公式を導いた。すなわち
であった。これは図の導線中の任意の場所の電流密度と電荷密度をＳ系とＳ’系で測定したときの値の関係を与える。
これをこの稿の場合に当てはめると
であるが、Ｓ系での値を上記の変換公式に代入してＳ’系での表現を求めてみる。
電流密度は
となり、３．（３）１．で説明したＳ’系での電流表現と一致する。
電荷密度は
となり、（13.27）式と一致する。
つまり、電流密度と電荷密度のローレンツ変換公式はこの事を表していたのです。
［補足説明２］
ここは解りにくいところなのでミンコフスキー時空図で確認します。Ｓ系をｘ，ｃｔ座標、Ｓ’系をｘ’，ｃｔ’座標で表す。Ｓ系から見た電荷密度はｘ軸と、Ｓ’系から見た電荷密度はｘ’軸と交わる正・負電荷の“世界線”の本数を単位長さ当たりで数えればよい。ここは別ページ補足説明もご覧下さい。
そのとき、ｘ軸とｘ’軸の単位の長さは、図中に記した双曲線の“較正曲線（尺度曲線）”に従って決定されることを思い出されたし。この図の詳しい説明は別項「相対論的力学」３．（５）［補足説明５］をご覧ください。
同じ事ですが、Ｓ’系の座標軸を直交させて表示すると下図になる。Ｓ’系から見た状況を検討するには、こちらの方が解りやすい。
これらの図上で、ｃｔ値が異なるがｘ軸に平行な線上で見ると針金は常に帯電していない。また、ｃｔ’値が異なるｘ’軸に平行な線上で見ると針金は常に帯電している。
［補足説明３］
この問題を考えるときに、実際の電流はサークル状（例えば下図の様）に流れています。
そのとき、『Ｓ系からＳ’系の観測者に移ったときＡ点あるいはＢ点の伝導電子と導線内の陽イオン原子の位置のずれはどうなるのか？』と疑問に思われる方もおられるかも知れませんが、そのことは全く問題ありません。
前記［補足説明２］のミンコフスキー図は空間が１次元なので解りにくいので、別稿「Max Born著「アインシュタインの相対性理論」第Ⅵ章“アインシュタインの特殊相対性原理”」６．（２）で説明している空間２次元＋時間１次元のミンコフスキー図を利用すればよい。
まず、上図のＳ系座標の時刻 ｔ＝０ の空間面上に、最初に例として示した四角形の電気回路を設定します。次に、その中の伝導電子と陽イオン原子の世界線をｔ軸に沿った方向に伸ばして記入します。もちろん伝導電子が
ｔ＝0 のときＡＢ辺上に存在するのか、あるいはＢＣ辺上、ＣＤ辺上、ＤＡ辺上に存在するのかで、その世界線が立ち上がる方向と傾斜角は異なります。
いずれにしても、その様にして構成される世界線が形成する四角柱で表現される現象をＳ’系から見ることになります。例えばＳ’系の時刻 ｔ’＝0 の面で切り取った四角柱の断面を見れば良いのです。その断面上の世界線の切り口点の並びが（Ｓ’系での)時刻 ｔ’＝0 に於ける伝導電子と陽イオン原子の位置となります。
そのとき、時間の相対性が絡んできますので、上記別稿５．（１）図１２１
についての説明に留意して解釈することが必要です。
［補足説明４］
本稿では１．［補足説明１］で注意したように、Ｓ系から見たときの導線が帯電していないとする初期条件で議論してきました。
本稿をご覧の読者で『何故その様な初期条件が許されるのか？』と疑問に思われる方もおられるかも知れませんので補足します。相対性理論の立場からいくとＳ系から見た導線(電流は流れている)がすでに帯電している初期条件で議論することもできます。
例えば、Ｓ’系から見た時の導線(Ｓ’系から見ると陽イオン原子が動いていますから、もちろん電流は流れています)が帯電していない初期条件で議論することもできます。下図の様にＳ系から見た伝導電子の世界線を青色の伝導電子の世界線の代わりに図中に緑色世界線で示されている世界線に変更すれば良いのです。
図を検討されれば直ちに解るように、この場合にはＳ’系から見ると（陽イオン原子が動いていますから）電流は流れており、しかも導線は帯電していません。しかし、もとのＳ系から見ると導線は負(－)に帯電している様に見えます。もちろんＳ系から見ても導線に電流は流れています。
この初期条件の状態を実施するには、あらかじめ導線回路内の伝導電子密度を少し多めの状態にして電流を流し始めないといけません。つまり導線回路内に自由電子をあらかじめ少し注入しておく必要があります。それが相対性理論が教えてくれることです。
別な例として図中のＳ”:系から見たときの導線(もちろん電流は流れています)が帯電していない初期条件で議論することもできます。下図の様にＳ系から見た伝導電子の世界線を青色の伝導電子の世界線の代わりに図中に橙色世界線で示されている世界線に変更すれば良いのです。
図を検討されれば直ちに解るように、この場合にはＳ”系から見ると電流は流れており、しかも導線は帯電していません。しかし、もとのＳ系から見ると導線は正(＋)に帯電している様に見えます。もちろんＳ系から見ても導線に電流は流れています。
この初期条件の状態を実施するには、あらかじめ導線回路内の伝導電子密度を少し少なめの状態にして電流を流し始めないといけません。つまり導線回路から自由電子をあらかじめ少し抜き取っておく必要があります。それが相対性理論が教えてくれることです。
補足しますと、伝導電子が静止した状態から電流が流れている状態にするには回路のどこかに別稿「発電機とモーターの理論」１．で説明した様に電流を流すための機構（発電機）を設置しなければ成りません。
その場合、次図の導線Ａの状態が前述の《後例の場合》であり、導線Ｂの状態が前述の《前例の場合》と言うこともできます。
しかし、今考えている場合の様に負荷が零（抵抗Ｒ＝0で導線は完全導体）の場合には、発電機のａｂ間の電位差は零でも電流が流れている状態にできます。そのため、導線の帯電状態が、伝導電子が止まっているときと電流が流れているときで変化することはありません。
つまり電流を流す前の伝導電子間の間隔を保ったまま（同じ伝導電子間の間隔）で電流が流れている状態に移行できます。すなわち下図の様になります。
そのため《前例の場合》にはあらかじめ回路に自由電子を注入して伝導電子密度を少し上げておかねばなりません。また、《後例の場合》にはあらかじめ回路から自由電子を少し抜き取って伝導電子密度を下げておく必要があります。
さらに補足しますと、１．［補足説明１］で注意しましたが、交流電流の場合は電流の位相に伴って導線は正・負の帯電状態を繰り返します。その事は別稿「交流電気回路」６．の説明（特にこの図）や、別稿「波動方程式と一般解」３．（４）の説明（特にこの図）をご覧下さい。
以上の様にいずれの初期条件で議論を始めても同様な展開ができます。その事については５．［補足説明２］で説明しています。だから電磁場の相対性を理解する上で、初期条件を１．［補足説明１］の様にしたことは本質的に重要なことではありません。
Ｅ’を求める§5-5（p57）の手順はこちらを参照。そこの式で、針金の単位長さ当たりの電気量をλ＝ρ’[C/m3]×1[m]×Ａ[m2]と置けばよい。“ガウスの法則”はこちらを参照。
３．（３）１．で述べたように、Ｓ’系から見ると粒子ｑの位置に磁場Ｂ’も存在する。しかし、Ｓ’系で静止している粒子ｑには力を及ぼさない。
ここはの説明は難しい。同じ粒子ｑでも見る座標系によってその質量は変化します。またそれに働く力も座標系によって変化します。同じ現象の二つの見方が、観測座標系の相対速度に無関係に同じ物理的結果を与えるということは、同じ運動量変化を与えることだと考えなければいけないとファインマンは言っている。
つまり、ファインマンは座標系の相対速度に垂直な方向の“横運動量”はＳ系から見ても、Ｓ’系から見ても変わらない事を言っている。座標系の相対的運動の方向に垂直な運動量成分はローレンツ変換不変です。これは別稿「相対論的力学」３．（４）［補足説明２］で証明しています。
ここの意味を理解するのは難しい。Ｓ系で動いている粒子ｑに磁場Ｂが働く時間間隔とＳ’系で静止している粒子ｑに電場Ｅ’が働く時間間隔は、粒子に取って同じ時間間隔でなければならない。Ｓ系の粒子（動いている）の時間はＳ系の観測者に取ってゆっくり進む様に見えるのだからΔｔ＞Δｔ’で無ければならないといっている。つまりＳ系に静止している時計で計った時間間隔Δｔは少し長めに取る必要がある。。
［補足説明１］
ここの議論は、力が働いた最初の極短い瞬間についてしか言えないことに注意。横方向の運動速度を持つとＳ’系に対して粒子が静止しているという最初の条件は成り立たなくなる。ローレンツ変換の中のＳ系とＳ’系の互いの相対速度ｖも変化してしまいます。
力の変換則については５．［補足説明３］でもう少し詳しく説明します。
［補足説明１］
アインシュタインは1905年論文で電磁場が観測系に依存して変化する変換式を相対性理論に基づいて求めている。
Ｓ’系はＳ系に対して、Ｓ系のｘ軸の正方向に速度ｖで移動しているとする。そのとき任意の場所における電場と磁場をＳ系とＳ’系で観測した時の値は下記の変換公式で関係づけられる。
ダッシュの付いていないものがＳ系から、ダッシュの付いたものがＳ’系から見た電磁場成分です。
アインシュタインはGauss単位系で表していますが、Gauss単位系では磁場としてＨとＢのどちらを用いてもよい。本によってはＨをＢに置きかえて表示しているもの（例えばPurcell「電磁気学」）もあります。
この稿で用いているMKSA有理化単位系（E-B対応系）にすると下記の様に成ります。
今まで考察してきた図13-12の状況での粒子ｑの位置の電磁場成分は下記の様に成ります。
その為、上記変換式は
となり
だけが残ります。
２．（１）、３．（３）１．、３．（４）で求めている、図13-12の粒子ｑの位置の電磁場成分表示式
を代入してみると、
となり、アインシュタインが求めた電磁場の（ローレンツ変換共変の）変換式を確かに満たしている。
［補足説明２］
この稿では、［粒子ｑ（負電荷）の速度］と［伝導電子（負電荷）の速度］が同じ値ｖで、しかもＳ系から見た導線（針金）は帯電していない場合を論じてきた。そのとき、Ｓ系は導線に対して静止しており、Ｓ’系は粒子q（あるいは伝導電子）に対して静止しているとしてきた。
補足として、Ｓ系から見たとき導線はすでに帯電しており、Ｓ’系における粒子ｑはｘ’軸の正方向に速度ｕ’を持っている場合を考察する。Ｓ系とＳ’系の相対速度はｖであるとしているので、Ｓ系からみた粒子ｑの速度ｕは相対論的速度合成則に従う。
Ｓ系から見た導線（針金）の電荷密度をρ、電流密度を（ｊx，ｊy，ｊz）とし、Ｓ’系から見た電荷密度をρ’、電流密度を（ｊx’，ｊy’，ｊz’）とすると、別稿「相対論的力学」３．（５）あるいは３．（３）４．［補足説明１］で確認したように両者の関係は
となる。
導線の中心から距離ｒの位置にある粒子ｑの場所のそれぞれの系から見た電磁場、つまりＳ系から見た（Ｅx，Ｅy，Ｅz）、（Ｂx，Ｂy，Ｂz）と，Ｓ’系から見た（Ｅx’，Ｅy’，Ｅz’）、（Ｂx’，Ｂy’，Ｂz’）を求めるには、それぞれの系から見た電荷密度と電流密度に、“ガウスの法則”や“アンペール（ビオ・サバール）の法則”を適用すれば良い。
ここで注意して欲しい事は、今は導線が無限の長さの場合を考えていると言うことです。だから導線の帯電分布も電流密度の分布も静的なものとみなせる。だから静的な場合に利用できるガウスの法則やビオ･サバールの法則で電磁場が計算できるのです。この当たりは別稿３．［補足説明２］を参照されたし。
粒子ｑの位置の電磁場は無限長導線の場合には
となる。
これらは、当然のことですが前述の電磁場の変換式
を満たしている。実際
となる。
それぞれの系から見たときの電磁場が粒子ｑ（ここでは＞0とする）に及ぼす力を求めると
となるが、ＦzとＦz’には以下の関係がある。
これらの関係式は、Ｓ系での力の表現式に速度変換式、電荷・電流密度変換式を適用しても得られる。
もちろん、下記の様に電磁場変換式を用いても良い。
ＦzとＦz’の関係はｖ→－ｖに変えてダッシュの有る無しを付け替えるとと互いに入れ替わるので相対性原理を満たしていることが解る。また、ｕ’→0、ｕ→ｖとすると、どちらの表現も前出の（13.30）式に一致する。もちろん、（ｕ≪ｃ、ｕ’≪ｃ、ｖ≪ｃ）のときには Ｆz≒Ｆz’となる。
［補足説明２－１］
三次元力のローレンツ変換共変の変換式を導くのに電磁気学における“ローレンツの力の法則”を仲介として用いていますが、次の［補足説明３］で説明するように、（運動量・質量）４元ベクトルの“ローレンツ変換”を用いると“ローレンツの力の法則”の助けを借りなくても直接導けます。このことについては別稿「相対論的力学」２．［補足説明８］も是非ご覧ください。
［補足説明２－２］
ここの［補足説明２］をご理解の上で、別稿「「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」２．（１）［補足説明１］と［補足説明１-１］をご覧頂くと、そこの説明の意味がお解りになると思います。
［補足説明３］
各座標系における“力”Ｆとは、“運動量”ｐの各座標系における時間的変化率に対する名称に過ぎない。（このことに付いては「相対論的力学」４．（２）［補足説明１］参照）
《Ｓ’系の移動方向と垂直な方向に働く力の変換式》
この場合の変換式は前記の様に
であったが、前述の力の定義に留意するとこれはローレンツ変換を用いて直接導ける。
実際、Ｓ’系の移動方向に垂直な運動量成分はローレンツ変換に対して不変であるから
となる。ｐz＝ｐz’に付いては「相対論的力学」３．(４)［補足説明２］を参照されたし。
Ｓ’系はＳ系のｘ軸の正方向へ速度ｖで動いており、時刻ｔ＝ｔ’＝0のとき両座標系の原点がすれ違う。今考察している任意の時刻に、着目している物体はＳ’系から見てｘ’軸の正方向に速度ｕ’＝ｄｘ’／ｄｔ’を持っとしている。
ここで注意して欲しいのですが、物体のＳ’系での速度がｘ’軸成分以外を持つ任意の速度ベクトルに対してもｐz＝ｐz’は成り立ちました。だから証明の過程を検討すれば解るように、Ｓ’系での物体の速度は任意の速度ベクトルｑ’を持つとして良い。そのｘ’軸成分（今はｕ’としている）のみが変換式に効いてくるのです。
《Ｓ’系の移動方向に平行な方向に働く力の変換式》
今までは物体がＳ’系に於いて持つ速度成分をｘ’軸方向に限って論じてきたが、ここでは一般的な速度ベクトルｑ’の場合について証明する。以下の式中のｑ’はＳ’系における物体の速度の大きさ
を意味する。
Ｓ’系における粒子のエネルギーＥ’を運動量ベクトルのｘ’成分ｐx’で偏微分すると
となる。この式については、別稿「相対論的力学」２．［補足説明６］のPlanckの証明を復習されたし。これは“Hamiltonの正準運動方程式”そのままです。
これを運動量ベクトル成分ｐxのローレンツ変換に適用する。ここでのｖはＳ系に対するＳ’:系の移動速度を意味し、定数であることに注意して
が得られる。いままでの議論では(ｄｘ’／ｄｔ’）＝ｕ’としていたことに注意。
この式を用いると
となる。すなわち、Ｓ’系の移動方向と“平行に働く力”はローレンツ変換に対して不変です。この事はPurcellの「電磁気学」5章§8p207でも証明されています。まったく同じやり方です。
［補足説明４］
３次元力のもう少し一般的な（ローレンツ変換共変の）変換式は別項「４元速度、４元加速度と４元力」５．（１）で導いていますのでご覧下さい。また、その稿の５．（２）と（３）で、３次元力を一般化した４元力が“ローレンツ変換”そのものに従うことも説明しておりますのでご覧下さい。
［補足説明１］
最後に、第13章の最初の部分を引用して、もう一度磁場Ｂの意味を確認する。
単位がこうなることは別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」５．（３）１．を参照されたし。
たいていの電磁気学の本で説明されていますが、この稿をつくるとき参考にした本を挙げておきます。
