現代文明は電気によって支えられていると言っても過言ではありません。普段何気なく利用している電気器具も深く考えてみると驚異的な現象だと分かります。なんともすごい性質です。なぜすごいのかを説明します。
理想的な発電機とは内部抵抗＝０を意味する。本当は負電荷の電子が動くのだが、簡単化のために以下の議論ではすべて正電荷が動いて電流を生じているとして論じる。
発電機は高校物理で良く出てくる磁場中におかれた平行導線の上を金属棒を引っ張ることにより構築する。なんとも原始的な発電機であるが、発電機としての特性をすべて持ち、抵抗との間に働くつり合い関係をわかりやすく説明するには最適です。
金属棒ａｂを引く速度ｖが正電荷をａ→ｂの方向へ押しやる力ｅｖＢを生じる。この力が正電荷を抵抗Ｒへ押し込む。しかし抵抗Ｒが電荷の流れを妨げて、電荷が抵抗の手前に貯まり、そのことが導体棒のｂ側の電位をあげる。このとき［電磁誘導による誘導起電力］と［電荷分布の偏りによる電位差］を混同しないこと。両者は瞬時につり合って大きさは同じになるが、それぞれを原因として生じる力の向きは互いに反対である。
そのときｂとａの間に生じる電位差により、導体棒中に電界Ｅ＝Ｖ／ｌ式（２)が生じる。ただしｌは導体棒のａｂ間の長さである。この電界による力ｅＥが正電荷をｂ→ａの方向へ押しもどす。この力とｅｖＢによる力が釣り合って定常状態が実現されて式（１)のｅＥ＝ｅｖＢが成り立つ。
一方抵抗の部分ではＩ＝Ｖ／Ｒ式（３)で定まる電流Ｉが流れる。この電流により磁場中におかれた導体棒ａｂには速度ベクトルｖとは逆向きの力Ｆ’＝ＩＢｌ式（４)を生じる。定常状態ではこの力Ｆ’と人が引く力Ｆとがつり合いＦ’＝Ｆ式（５)が実現される。 つまり発電機に加えられる力Ｆが発生する電流Ｉを決め、棒ａｂを引っ張る速度ｖがａｂ間の電位差Ｖを決める。そうして定まったＩとＶはＶ＝ＲＩ式（３)のオームの法則を満足する。結局金属棒を引っ張る速度と、そのとき必要な力は抵抗値Ｒによって互いを規定し合って勝手な値をとることはできない。
以下いくつかの特別な場合を考察する。
式（４）と（５）よりＩは棒を引く力Ｆできまり、式（１）と（２）よりＶは棒の速度ｖで決まる。力Ｆを大きくしたら電流Ｉは増大し、速度ｖを大きくしたら電圧Ｖが大きくなる。ＩとＶはオームの法則（Ｖ＝ＲＩ）を通じてお互いに関係している。だから式１〜５の連鎖を通じてＦはｖと関係づけられている。
式（３）よりＩ＝０、そして式（４）、（５）よりＦ’＝０となる。つまり金属棒の質量が無視できるほど軽かったら力をほとんど加えずに任意の速度で動かすことができる。そのときの電圧の大きさは金属棒を引っ張る速度ｖで決まる。
式（３）よりＶ＝０、そして式（１）、（２）よりｖ＝０となる。つまり金属棒を引っ張ろうとすると、瞬時に引っ張る力を打ち消してしまうほどの大電流が流れて動かせなくなる。そのときの電流Ｉの大きさは引っ張る力Ｆによって決まる。理想的なモーターとは内部抵抗＝０を意味する。モーターは高校物理でよく出てくる磁場中におかれた平行導線の上を滑る金属棒で構築する。高校物理で習うように、この金属棒に電流を流すと力が発生して導線上を滑って動く。なんとも原始的なモーターであるが、モーターとしての特性をすべて持ち、発電機とモーターの間の相互作用理解するには最適である。
金属棒（１）を引く速度ｖ1は正電荷をａ1→ｂ1の方向へ押しやる力ｅｖ1Ｂ1を生じる。この力が電流Ｉを生じ、この電流Ｉが磁場中にある金属棒（２）に力Ｆ2を生じる。そのときＦ2が金属棒（２）に加わっている負荷Ｆ2’にうち勝つだけの大きさがなかったら（２）は動けずｖ2＝０で逆起電力ｅｖ2Ｂ2は生じず金属棒（２）に流れる電流Ｉはどんどん増大する。電流が増大すればやがてＦ2はＦ2’に打ち勝っ大きさになり金属棒（２）は動き出す。加速して速くなりｖ2が増大するにつれて金属棒（２）の内部にはｅｖ2Ｂ2の逆起電力が発生してきて電流が流れるのを妨げるようになる。
このためｂ2〜ｂ1の導線に電荷が詰まってとどこおり電位が高くなる。そしてｂ1はａ1よりＶだけ高電位になり、この電位差が金属棒（１）の内部にＥ１＝Ｖ／ｌ1の電場を生じる。この電場が力ｅＥ1＝ｅＶ／ｌ1を生じる。これが力ｅｖ1Ｂ1とつり合っており定常状態が実現される。
またそのとき金属棒（２）についてもｂ2はａ2よりＶだけ高電位になり、この電位差が金属棒（１）の内部にＥ2＝Ｖ／ｌ2の電場を生じる。この電場が力ｅＥ2＝ｅＶ／ｌ2を生じ電流Ｉを流す。このとき流れた電流Ｉが力Ｆ2を生じて金属棒（２）を右方向へ動かす。金属棒（２）が右方向に動くことにより、ｅｖ2Ｂ2の起電力が生じ力ｅＥ2＝ｅＶ／ｌ2とつり合って定常状態が実現される。
結局、定常状態では前記の（Ａ）系列と（Ｂ）系列の式が成立する。
（Ａ）系列･････電流Ｉを仲介にして力Ｆ1’とＦ2’がお互いに影響しあって他を決めていることを表している。
（Ｂ）系列･････は電圧Ｖを仲介にして速度ｖ1とｖ2がお互いに影響しあって他を決めていることを表している。
理想的な発電機は加える力を調節して任意のスピードで運転できるから、発電機がどの電圧Ｖ、どの電流Ｉで運転されるかはモーターに接続されている負荷の特性による。
この辺の事情は右図のような実験をしてみればたちどころに実感できる。手回し発電機でモーターを回すとき、そのモーターの心棒を指でつまんだり離したりしてみると手回し発電機に加えるべき力が変化することが分かる。
このようにして発電所のタービンに加わる力と家庭のモーターが発揮する力は一体化している。上記の過渡的な現象はほぼ光の伝播速度で互いの状況を伝え合うことにより瞬時に調節されてつり合い状態が実現される。末端の家庭での負荷が増えれば遙か彼方の発電所の発電機の回転数が落ちてしまう。火力発電所では回転数をもとにもどすために蒸気の供給量を増やし、水力発電所では水門を開いて水の流量を増やす。そうして末端での負荷量に関係なく一定の回転数で発電機のローターが回転するように調整している（東日本では５０Ｈｚ、西日本では６０Ｈｚ）。
何百キロメートルも離れた場所にあるものが互いに同期して動き、あの細い金属電線を通じてエネルギーが輸送される。これらを考えると電気現象のもつ驚異メカニズムと不思議な振る舞いに胸打たれます。
よくもまあ人類は金属という物質の中に埋もれていたこの驚異的な現象を見つけたものだと思います。現代文明の根幹をなすこの技術も、もとを正せば１８００年のボルタの電池の発明に端を発した動電気学に始まる。それまでの摩擦電気による静電気学のレベルに留まっていたのでは決して発見できなかった現象です。改めてボルタの電池の発見の重大さが解る。
理想的な定電圧電源とは出力電圧が任意にコントロールでき、負荷が変化しても出力電圧は常に一定に保たれ電流のみが変化するような電源である。当然内部抵抗はゼロである。一般の電池がこれに近い働きをする。
定常状態では上記の（Ａ）系列と（Ｂ）系列の関係式が成立する。
（Ａ）系列･････電源が供給する出力電圧Ｖでモーターの金属棒が動く速度ｖが決まることを表している。
（Ｂ）系列･････モーターにかかっている負荷の大きさＦ’が金属棒を流れる電流Ｉの大きさＩを決めることを表している。
ｅＶ／ｌ＝ｅＥ＝ｅｖＢが成立するまで電流Ｉの増大が続き、Ｆを増大させる。この式が実現される速度ｖになったら電流の増大は止まる。定常状態が実現されたとき電流ＩはＦ＝ＩＢｌの力を発生し、負荷Ｆ’とつり合っている。現実のモーターとは内部抵抗があるモーターを意味する。この内部抵抗はモーターのみならず配線中の抵抗、電源中の抵抗等をすべて含んだものとして考えればよい。それを下図のＲで表す。
上記の関係式から解るように、この場合にモーターにかかる負荷の力Ｆ’とモーターの動く速度ｖを仲介する式はＶ＝ＶE＋ＲＩである。これを変形していくと
上左グラフから解るように理想的なモーターの場合と違って発揮できる力の最大値に限りがあり、流れる電流にも最大値がある。そしてモーターの速度ｖは負荷の大きさＦ’により変動する。負荷がゼロのとき最大の速度で動く。このとき電流はほとんど流れない。
モーターの特性関数を表すグラフ（上左グラフ参照）中の(1)(2)(3)の番号は前出の図中の対応する番号の電圧分布に対応する。
(1)は電流がほとんどゼロの状態で、電圧降下は抵抗Ｒの中ではほとんど起こらず金属棒中のみで生じる。このときが金属棒中の電圧降下は最大でこれによるｅＥの力につり合う逆起電力ｅｖＢも最大にならねばならぬ。そのため金属棒は最大の速度で移動する。しかし電流がほとんどゼロだから発生する力は最小で、外に対する仕事はほとんどなされない。このときエネルギーはほとんど消費されない。
(3)は電流が最大に流れる状態で金属棒は最大の力を発揮する。しかし移動速度は最小で、金属棒中ではほとんど電圧降下は起こらない。ほとんどの電圧降下は抵抗Ｒの中で生じる。発揮する力は最大でも金属棒はほとんど動けないので外に対する仕事はほぼゼロで、大半の電力が抵抗Ｒの中でジュール熱として消費される。このときエネルギー消費率は最大になる。
(2)は、消費されるエネルギーのうち、一部は外に対する仕事に、一部は抵抗Ｒのジュール熱に消費されることを表している。トータルのエネルギー消費率も(1)と(3)の中間である。
Ｒがゼロに近づくと共に直線の傾きは負で大きくなり、グラフの直線は垂直に立ってくる（上中グラフ参照）。Ｒがゼロのとき垂直になる。そのときにはｖは電源の供給する電圧Ｖでほぼ決まり、負荷Ｆ’の大きさにはほとんど依存しなくなる。そして電流Ｉの変動でＦ’の変化をささえる（上右グラフ参照）。これは前述の３．理想的な定電圧電源と理想的なモーターの場合に近づくことになる。
電源電圧Ｖを一定にして負荷Ｆ’を変化させるとモーターの速度ｖが変化する。このあたりの事情は模型モーターの実験で体験できる。（右図参照）
負荷Ｆ’を一定にして電源電圧Ｖを変化させるとモーターの速度ｖが変化する。これもよく体験するところである。（右図参照）
電車を動かすような一般の場合、負荷Ｆ’は速度ｖとともに変化していく。例えば電車の速度が増せば空気抵抗は速度ｖやｖ二乗の関数で増大する。そのとき負荷の特性に応じた負荷曲線が描ける。