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共振が起こるためには反射壁で囲まれた領域へ連続的に波が送り込まれねばならない。そして、そのとき両端での波の反射が本質的な役割を演じる。そこで最初に高校物理で習う波の反射を復習する。
自由端では上下方向の力は働かない。そのため、もし弦の自由端に横方向の力を加えたら、弦はちょうど加えられただけの力を打ち消す様に動く。そして力は必ず零になり、反射端は水平のままである。そのようになるためには入射波に重ね合わさる反射波は入射波の上下はそのままで、左右をひっくり返したものが反射されたと考えなければならない。
固定端では上方向の変位は零である。そのためには、反射波は入射波の左右をひっくり返して、上下をひっくり返したものと考えなければならない。そのような反射波が入射波と重ね合わさって初めて固定端での変位零が実現できる。
両端が反射壁で囲まれた場合の反射の様子を知るには、下図の様な入射波と反射波を作って重ね合わせればよい。以下でMax Planck著「理論物理学汎論 第２巻 変形する物体の力学」３７節の説明を利用する。
両端で繰り返し反射する波の様子を表すためには波形を長さ２ｌ の単位で左右にコピーを繰り返した波αを左方向に、またαとはｘ＝０の原点に対して点対称(左右にひっくり返して、さらに上下にひっくり返す)の波βを右方向へ波の伝播速度で移動させて、すれちがわせばよい。そして０≦ｘ≦ｌの間について重ね合わせれば、それが求める解である。
この場合は両端が自由端反射になるので、波βは波αをｘ＝０で左右にひっくり返した形にすればよい。波αを左方へ、波βを右方向へ移動させて、０≦ｘ≦ｌの間について重ね合わせればよい。
この場合は固定端と自由端なので、波αを作るとき、長さ２ｌ の単位で左右にコピーを繰り返すとき、上下もひっくり返しながらコピーすればよい。そして波βはｘ＝０の原点で点対称になるような形にすればよい。波αを左方向へ、波βを右方向へ移動させて、０≦ｘ≦ｌの間について重ね合わせればそれが求める解である。
波はほっておくと、どんどん伝播して逃げてしまう。だから共振が起こるためには、生じた波を囲っておかねばらならい。それには両端が波を反射する性質を持たなければならない。それと同時に、共振が起こるためには、波を連続的に供給する機構が必要である。
波が連続的に供給される場合、重ね合わせる波をどの様に作ったらよいだろうか。前節（イ）固定端−固定端 の場合を例に取って説明する。前節（イ）の場合と異なって、こんどは周期２ｌで転写すべき波の長さが時間と供にいくらでも長くなる。それらをすべて重ね合わせた左へ進行する波αと、同じく右に進む転写波をすべて重ね合わせた波βを０〜ｌの区間で重ね合わせたものが区間０〜ｌで実際に生じる波である。
αとβの波を重ね合わせて見れば解ることであるが、媒質の長さ ｌ が波長λの半整数倍(半波長の整数倍のこと)の場合のみすべての反射波は互いに強め合い媒質が大きく振動する。これを共振（共鳴)現象という。それ以外の場合は互いに打ち消しあってしまい、振動は消えてしまう。
次の例では送り込まれた波が反射を繰り返す内にお互いで打ち消しあってしまって共振は起こらない。
次の例でも共振は起こらない。
反射端で囲まれた長さ ｌ の媒質中に送り込まれる進行波の波長を λ とすると、前項２．（１）（２）を検討すれば解るように、ｌとλが以下の関係を満たすときのみ共振がおこって定常波が生じ媒質は大きく振動する。
これらの公式を覚えるには、まず固定端は節、自由端は腹になる定常波の形を図で覚える。次に（イ）（ロ）の場合、媒質の長さ ｌ が［進行波の半波長］の［整数倍］で共振し、（ハ）の場合、長さ ｌ が［進行波の半波長］の［半整数倍］で共振する事を図から読み取る。それさえ解れば、後は ｖ＝λ／Ｔ＝ｆλ の関係式を用いて ｌ と ｖ、ｆ、Ｔ との関係式を導くことができる。
進行波の波長をλ、伝播速度をｖ、振動周期をＴ、振動数をｆとすると
の関係式が成り立つ。これは高校物理で習う“波で最も重要な関係式”である。
この式の中で波の伝播速度 ｖ は媒質の状況・性質により決まる。例えば
これらの公式の導出は別稿「波動方程式と一般解」を参照せよ。
伝播速度ｖが物理的状況により決まれば、３．（イ）（ロ）（ハ）の共振条件を満足する波長λの波を送り出す振動機構の振動周期Ｔは、Ｔ＝λ／ｖ から求まる。
奥まった細長い湾は長波の侵入に伴い、その固有振動数で振動する。特に長崎湾は有名で、長崎地方の方言で「あびき」という。長波とは波長λが水深ｈより遙かに長い波のことで別稿「波動方程式と一般解」２．（４）長波 で説明。その伝播速度は
で表される。長崎湾の平均水深は約２０ｍであるから､長波は ｖ＝(９．８×２０)1/2＝１４ｍ／ｓ 程度で湾内を進行する。新聞記事や長崎海洋気象台の報告によると共振の振動周期は約３４分程度である。長崎湾の形は以下の模式図のようなもので近似できる。（Ａ）タイプの共振と（Ｂ）タイプの共振（湾口が節で湾奥が腹）が考えられる。共振条件からそれぞれの基本振動の周期を求めてみる。（Ａ）タイプは約１９分、（Ｂ）タイプは約３３分になるので、おそらく「あびき」は（Ｂ）タイプの振動が主になると思われる。
カナダのノヴァ・スコシアにあるファンディ湾では潮位差が世界で最も大きい。非常に大きい潮位差を利用して、干潮のときに大きな網を立て、満潮の間にかかった魚を、次の干潮のときに拾い集める漁法もあるくらいである
湾の入口での潮位差はあまり大きくなく、大潮のときでも３ｍしかないが、湾内のセントジョンでは潮位差は７〜８ｍになり、最も奥のジグネストの入江では１４ｍに、またマイナス入江では最も大きく、１５ｍにも達する。風があると潮位差はさらに２ｍほど大きくなる。
ファンディ湾の平均水深は約５０ｍである。奥行きを約２５０ｋｍと見なして基本振動の周期を求めてみる。潮汐波は（１）長崎湾の「あびき」の場合と同様に長波とみなせるので、その伝播速度ｖは
かなりおおざっぱな計算で得たＴ＝１２．６時間だか、潮汐の周期１２．４２時間に近い。そのために共振が起こり大きな潮位差を生じるのであろう。潮汐の生じるメカニズムについては「潮汐力について」を参照。
オランダ政府はゾイデル海の周辺の干拓を進めるに当たって、干拓地を北海から襲ってくる高潮から守るために、ゾイデル海の入口を長さ３０ｋｍの長大なダムでふさぐぐ大計画を立てた。しかしゾイデル海の入口をふさぐとワッデン諸島とダムの間にはさまれた部分の潮汐が大きくなり、ワッデン海沿岸の堤防は更に高いものにしなければならない。これをどれくらいに見積もるべきか苦慮した。
そこでオランダ政府は高名な物理学者 H.A.Lorentz を委員長とする委員会を１９１８年に作り、その調査研究を行う事になった。８年間にわたる調査と研究を重ねた結果得られたものは、ゾイデル海を仕切るとワッデン海の干満の振幅が約２倍になり、ワッデン諸島の島々の透き間の流量がダムを作ることによってかえって増すという意外なものであった。それはちょうど北海から流れ込む潮汐の波と、ダムによって反射された波が干渉して定常波があらわれ、ちょうどワッデン諸島の所で、その振幅は極小となり、流量が極大になることを意味していた。
オランダ政府は、この報告を受けて１９２７年〜１９３２年、ついにこの大工事を完成させた。これは政治、科学、技術の最も美しい協力の例であり、また驚くほどみごとに成功した例である。この間の事情については
朝永振一郎著 「ゾイデル海の水防とローレンツ」 中央公論社の雑誌「自然」（１９６０年１月号）
に詳しく紹介されている。昔読んで感銘深かったので、ここに全文を引用する。
大韓民国の首都ソウルの玄関港インチョン（仁川）の大潮差も有名で、大潮の時には１０ｍを越える。ここは朝鮮戦争の帰趨を決した仁川上陸作戦の舞台となった場所である。
朝鮮戦争は１９５０年６月２５日早朝、朝鮮人民軍の北緯38度線を越える侵攻作戦で始まった。最初の７０日間は朝鮮人民軍の圧倒的優勢のうちに進展し、年６月２８日の韓国の首都ソウル陥落後、国連・韓国軍は９月初めには大邱(テグ)、釜山(プサン)を含む半島南端の狭い一角に追い詰められた。そこで国連軍総司令官のマッカーサーは朝鮮人民軍の背後を突く、起死回生の仁川（じんせん＝インチョン）上陸作戦を１９５０年９月１５日に敢行した。
仁川は上陸作戦にむかない地形である。潮の干満で干潮時には海岸から数キロもの泥土地帯が生まれ上陸できない。上陸できるのは大潮の数日間、しかも１日２回の満潮時の２〜３時間の間だけだ。また海岸線に浜辺がなく、防波堤か桟橋にハシゴで登るしか方法がなかった。その上陸の困難さゆえに意表をつく作戦だった。
１９５０年９月１５日早朝の月齢は３．７日(細長い三日月)で、大潮から中潮へ移行期の干満差があり、その日の満潮は早朝と夕刻であった。一般に湾の形や潮流の相互作用により、満潮時刻は月の方向とは必ずしも一致しない。
９月１５日午前５時、国連軍は最初の上陸地点である月尾島（仁川港に隣接する小島)に艦砲射撃を開始し、この日の最初の満潮に乗じて６時３１分に先発部隊が上陸を開始する。島内の抵抗は散発的で午前７時５０分には掃討を完了する。そしてこの日の２回目の満潮に合わせて午後５時３３分に主力部隊が上陸し、抵抗を排除しつつ真夜中には仁川の北部と南部で目標線に到達する。翌１６日夕刻には仁川から10キロの円状に指定された海岸を確保した。
この奇襲上陸作戦の成功により仁川、ソウルを奪還した国連・韓国軍は１０月初めに３８度線を突破し、同月１９日平壌を占領、一部の部隊は鴨緑江(おうりょくこう)岸まで到達した。しかし１０月２５日、中国人民軍の大部隊が鴨緑江を越えて参戦し、朝鮮人民軍とともに反撃し、１２月４日には平壌を奪回、翌５１年１月４日ソウルを再占領した。その後、国連・韓国軍は３月１４日ソウルを再奪回したが、３８度線付近での戦闘は激烈を極め多くの人々が戦死し、戦線は膠着状態となる。そして５３年７月２７日、ようやく板門店(はんもんてん)での休戦協定調印となった。この休戦協定いらい南北朝鮮分断の悲劇は今日まで続いている。
超高層ビルの基本振動の周期は［建物の階数］×０．１秒程度で、例えば３６階建て霞ヶ関ビルは Ｔ〜４秒程度である。ビルが建っている岩盤の固有振動周期（〜０．３秒程度）と、ビルの固有振動周期が一致しないようにビルを設計しなければならない。
東京の下町の地盤は軟らかく固有振動周期は０．７〜１秒程度、山の手の地盤は固く０．３秒程度である。関東大震災（１９２３年）のとき下町では木造二階建て家屋（固有振動周期＝０．７〜１秒程度）の倒壊が多く、土蔵の被害は少なかった。一方、山の手では土蔵（固有振動周期＝０．３秒程度）の倒壊の被害が多く木造二階建ての被害は少なかった。これも共振が原因だ。（竹内均「地震の科学」日本放送出版協会P224より）
地球表面を一様に覆っている大気も、月による引力で引っ張られ、少し楕円形に潰れている。それは月によって駆動される１日２回の潮汐運動のため１２．４２時間の周期で振動する。ところで、大気に何らかの攪乱を与えたら大海の水と同様にチャプチャプと振動するであろう。大気自身の固有振動はいくらであろうか。
１８８３年にクラカトア火山（インドネシア)が大爆発して島の半分が吹き飛ばされた。大気中でものすごい爆発が起こったので、大気の固有振動の周期を測定することができた。様々な振動周期のなかで、１２．４２時間に最も近い固有振動の周期は１０．５時間であった。
１９６０年５月２２日に起こったチリ地震の記録（カリフォルニア工科大学 ベニヨフ型伸縮計による）（竹内均「地震の科学」日本放送出版協会P50より）
上記地震記録から求めた、各振動周期の振動がどれくらいの強度で含まれているかを表す図。
