（２π／λ1）｛− Ａ0cos２π（ｔ／Ｔ）＋Ａrcos２π（ｔ／Ｔ）｝＝−（２π／λ2）Ａtcos２π（ｔ／Ｔ）
となり次式が得られる。
λ2Ａ0−λ2Ａr＝λ1Ａt････････････・・・・・・・・・・（５）
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高校物理で自由端や固定端での反射は次のように習う。端の境界条件として自由端で変位は完全なフリー、固定端で変位はゼロが成り立つので、反射波の位相は前者でそのまま、後者でπずれる。
しかし完全な固定端や自由端ではなく二種類の媒質が一つの境界で接しており、その境界で反射が生ずる場合、位相の関係がどのようになるのかイメージしずらく、なかなか理解しがたい。その当たりを説明します。
媒質１、２の境界において以下の境界条件が成り立つ。
媒質１、２での媒質の振動周期をＴ（境界条件１よりＴは媒質１、２で等しい）、媒質１での波長をλ1、媒質２での波長をλ2とすると、入射波、反射波、透過波を以下のように仮定できる。
境界（ｘ=0）で変位が連続の条件より
ｆ0（ｔ、ｘ）＋ｆr（ｔ、ｘ）＝ｆt（ｔ、ｘ）
でｘ=0を代入して
Ａ0sin２π（ｔ／Ｔ）＋Ａrsin２π（ｔ／Ｔ）＝Ａtsin２π（ｔ／Ｔ）
Ａ0＋Ａr＝Ａt･････････････････････････････・・・・（４）
境界で変位の傾きが連続より
（２π／λ1）｛− Ａ0cos２π（ｔ／Ｔ）＋Ａrcos２π（ｔ／Ｔ）｝＝−（２π／λ2）Ａtcos２π（ｔ／Ｔ）
となり次式が得られる。
λ2Ａ0−λ2Ａr＝λ1Ａt････････････・・・・・・・・・・（５）
（４）、（５）式をＡr、Ａtの連立方程式と見なして解くと
となる。
ここで媒質１の絶対屈折率＝ｎ01、波の速度＝ｖ1、波長＝λ1として、媒質２の絶対屈折率＝ｎ02、波の速度＝ｖ2、波長＝λ2とすると、高校物理で習うように
が成り立つので（６）式は
となる。
ここで屈折率が 【小さな媒質１】 から 【大きな媒質２】 へ入射する場合 （ｎ01−ｎ02）＜0 となるので Ａr＜0 となる。これが反射波の位相がπ変化することに対応する。
λ１＝６、Ａ０＝５ とすると λ２＝６×１÷１．５＝４ 、 Ａｒ＝５×（１−１．５）÷（１＋１．５）＝−１ および Ａｔ＝５×２×１÷（１＋１．５）＝４ となり
波の動きを理解するには、別稿「動的潮汐理論におけるケルビン波」４．（２）２．のアニメーション動画をご覧ください。
また以下のURLに類似のアニメーションがあります。
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/fresnel/inc0deg/LiveGraphics3D/diamond.html
ただし、このアニメーションは電磁波の場合のアニメーションなので電場Ｅの成分（赤色）のみに注目して下さい。
λ１＝６、Ａ０＝５ とすると λ２＝６×１．５÷１＝９ 、 Ａｒ＝５×（１．５−１）÷（１．５＋１）＝１ および Ａｔ＝５×２×１．５÷（１．５＋１）＝６ となり
この場合（６）、（７）から明らかなように媒質２での透過波の振幅が入射波よりも大きくなる。一見不思議に思えるが、屈折率の小さい媒質というのは一般に密度が小さく、バネ定数ｋ（３次元の連続媒質ではヤング率という）が大きくなるので、実際の現象を考えたらうなずける。密度が小さいので振幅が大きくても透過する波のエネルギーが大きくなるわけではない。
別稿「音速の理論」や「波動方程式と一般解」３．（３）で述べた様に、バネ定数ｋが大きく、媒質の密度が小さいと波の伝播速度は速くなる。屈折の理論から明らかなように、速度が大きくなると屈折率が小さくなる。