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波の反射と屈折率

　高校物理で自由端や固定端での反射は次のように習う。端の境界条件として自由端で変位は完全なフリー、固定端で変位はゼロが成り立つので、反射波の位相は前者でそのまま、後者でπずれる。
　しかし完全な固定端や自由端ではなく二種類の媒質が一つの境界で接しており、その境界で反射が生ずる場合、位相の関係がどのようになるのかイメージしずらく、なかなか理解しがたい。その当たりを説明します。

１．　境界条件

媒質１、２の境界において以下の境界条件が成り立つ。

1. 媒質の振動数は媒質１、２で等しい、つまり振動数が連続。これは境界面で媒質１、２は互いに接しており同じ振動数で振動することからくる。
2. 境界で媒質の変位が連続。
3. 境界で媒質の変位の変化量が連続。これは境界で変位が滑らからに連続している事を意味する。また、これは境界面を通して媒質１が２に及ぼす力と媒質２が１に及ぼす力が作用反作用の法則を満たし、大きさが等しく逆向きであることからくる。（一般に媒質に働く力は媒質の変位の場所的な変化量に比例する｡詳しくは別稿「波動方程式と一般解」をご覧ください。）

媒質１、２での媒質の振動周期をＴ（境界条件１よりＴは媒質１、２で等しい）、媒質１での波長をλ₁、媒質２での波長をλ₂とすると、入射波、反射波、透過波を以下のように仮定できる。

• 媒質１での入射波を
  ｆ₀（ｔ、ｘ）＝Ａ₀sin２π（ｔ／Ｔ−ｘ／λ₁）･･･････････････（１）
  とする。
• 境界で反射（reflection）した媒質１での反射波は
  ｆ_r（ｔ、ｘ）＝Ａ_rsin２π（ｔ／Ｔ＋ｘ／λ₁）･･･････････････（２）
  とおける。高校生は反射に於いて位相のズレが生じることを習っているが、ここでｆ_r（ｔ、ｘ）＝Ａ_rｓｉｎ２π（ｔ／Ｔ＋ｘ／λ₁＋α）の様に位相のずれを考慮して項αを入れておく必要は無い。それは境界で連続的に反射が起こるのだから入射波をそのまま利用して進行方向を逆向きにするだけでよい。逆向きにするにはｘ項の前の符号を＋にすればよい。
• 境界を通過（trajection）して媒質２へ進行する透過波については
  ｆ_t（ｔ、ｘ）＝Ａ_tsin２π（ｔ／Ｔ−ｘ／λ₂）･･･････････････（３）
  とすればよい。

境界（ｘ=0）で変位が連続の条件より
ｆ₀（ｔ、ｘ）＋ｆ_r（ｔ、ｘ）＝ｆ_t（ｔ、ｘ）
でｘ=0を代入して
Ａ₀sin２π（ｔ／Ｔ）＋Ａ_rsin２π（ｔ／Ｔ）＝Ａ_tsin２π（ｔ／Ｔ）
Ａ₀＋Ａ_r＝Ａ_t･････････････････････････････・・・・（４）

境界で変位の傾きが連続より

（２π／λ₁）｛− Ａ₀cos２π（ｔ／Ｔ）＋Ａ_rcos２π（ｔ／Ｔ）｝＝−（２π／λ₂）Ａ_tcos２π（ｔ／Ｔ）
となり次式が得られる。
λ₂Ａ₀−λ₂Ａ_r＝λ₂Ａ_t････････････・・・・・・・・・・（５）

（４）、（５）式をＡ_r、Ａ_tの連立方程式と見なして解くと

となるが、ここで媒質１の絶対屈折率＝ｎ₀₁、波の速度＝ｖ₁、波長＝λ₁、媒質２の絶対屈折率＝ｎ₀₂、波の速度＝ｖ₂、波長＝λ₂とすると、高校物理で習うように

が成り立つので（６）式は

となる。ここで屈折率が小さな媒質１から大きな媒質２へ入射する場合（ｎ₀₁−ｎ₀₂）＜０となるのでＡ_r＜０となる。これが反射波の位相がπ変化することに対応する。

２．　屈折率が小さな媒質（ｎ₀₁=1）から大きな媒質（ｎ₀₂=1.5）への入射

λ_１＝６、Ａ_０＝５　とすると　λ_２＝６×１÷１．５＝４　、　Ａ_ｒ＝５×（１−１．５）÷（１＋１．５）＝−１　および　Ａ_ｔ＝５×２×１÷（１＋１．５）＝４　となり

３．　屈折率が大きな媒質（ｎ₀₁=1.5）から小さな媒質（ｎ₀₂=1）への入射

λ_１＝６、Ａ_０＝５　とすると　λ_２＝６×１．５÷１＝９　、　Ａ_ｒ＝５×（１．５−１）÷（１．５＋１）＝１　および　Ａ_ｔ＝５×２×１．５÷（１．５＋１）＝６　となり

　この場合（６）、（７）から明らかなように媒質２での透過波の振幅が入射破よりも大きくなる。一見不思議に思えるが、屈折率の小さい媒質というのは一般に密度が小さく、バネ定数ｋ（３次元の連続媒質ではヤング率という）が大きくなるので、実際の現象を考えたらうなずける。
　別稿「音速の理論」で述べた様に、バネ定数ｋが大きく、媒質の密度が小さいと波の伝播速度は速くなる。屈折の理論から明らかなように、速度が大きくなると屈折率が小さくなる。