岡部洋一著「リーマン幾何学と相対性理論」プレアデス出版(2014年刊)附録A.“空間微分演算子”から引用。
(1)接続係数の計算
(2)空間微分演算子
(3)スケール因子
(4)直交曲線座標における空間微分演算子
全体の流れは明快ですが、説明は今一つです。直交曲線座標における空間微分演算子の参考に引用しました。
最初は別稿「一般相対性理論を理解するための数学的準備」に従って曲面幾何学3章(4)や、テンソル解析学6(7) などで学ばれ、その後 EinsteinB章(11)や、平川4章(9) と比較しながらお読み下さい。
【式A.1の証明】
この証明の2次元の場合を「微分幾何学」3.(4)3.[補足説明]で説明している。
多次元の場合は別稿「テンソル解析学」6.(2)4.を参照されたし。
【式A.2の証明】
【式A.3の証明】
別稿「テンソル解析学」6.(2)4.を参照。
【grad f】
デカルト座標系におけるgrad f の定義は別稿3.(9)1.をご覧下さい。
計量テンソルgmnがかかっているのは、grad演算の結果生じる共変ベクトルを反変ベクトルにするためです。共変ベクトルのままで良いならgmnを乗じる必要はありません。別稿4.(9)の式(4・62)をご覧下さい。
ここでは、スカラー f の微分に於いては、通常の“微分係数”と“共変微分係数”の間に違いはないということが大事です。
【div A】
デカルト座標系におけるdiv A の定義は別稿3.(9)2.を、また曲線座標における定義は別稿6.(7)3.をご覧下さい。
要するに、曲線座標系では反変ベクトルの微分は普通の微分ではなくて共変微分を用いなければ成らないと言うことです。その際、縮約を伴うdiv演算は式(A.8)の形にできると言うことです。
いずれにしてもこの演算操作で生じるのはスカラーです。
【rot A】
“4次元3階完全反対称テンソル”εNMKについては別稿2.(2)をご覧下さい。これは4次元4階完全反対称テンソルである“Levi-Civitaのテンソル密度”εκλμν=εκλμν を3階にしたようなものです。
また、デカルト座標系におけるrot A の定義は別稿3.(9)3.をご覧下さい。
rot演算については、別稿6.(7)2.をご覧下さい。
【ラプラシアン △f=▽2f=div(grad f)】
スカラー関数に共変微分演算gradを施すと共変ベクトルになります。その共変ベクトルをもう一度共変微分演算divで“縮約”することはできません。だから共変ベクトルgmnを施して反変ベクトルに変換しておかなければならないと言うことです。式(A.15)はその事を表しています。
そのとき計量テンソルの共変微分はゼロ(リッチの補助定理)ですから、計量テンソルと共変微分演算は交換可能であることに注意して下さい。
ここの説明は解りにくいので、別稿「微分幾何学」3.(4)4.《ベルトラミの第2微分係数》をご覧下さい。
【grad f】
【div A】
【rot A】
【ラプラシアン △f=▽2f=div(grad f)】
以下では代表的な直交曲線座標系について、今までに調べたことを示す。
[二次元極座標系]
[球面座標系]
[三次元極座標系]
[円柱座標系]