を解いてΦまたはΨを求めれば完全に決まる。そのとき速度ポテンシャルΦ（ｘ，ｙ）と流線関数Ψ（ｘ，ｙ）はコーシー・リーマンの関係式
を満たす。
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別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」で説明したように、流れの中に柱状物体を置いたり、静止した流体中で柱状物体を動かしたりすると、物体の背後にカルマン渦列が生成する。
そのときカルマンは、渦によって運ばれる流体に運動量が付加され、これが柱状物体が受ける抵抗に関係することを明らかにした。これがカルマンが渦列の解析から得たもう一つの重要な結論です。
なぜ、この結果がそんなに重要かというと、実際のところ流体中を動く物体には抵抗力が働くのに、完全流体の理論では流体中を等速度で動く物体には力が働かないという結論しか導けないからです。
そのため、まず完全流体における議論から始めます。
ここでは「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」と「カルマン渦列（動的安定性解析）」の結論をしばしば利用しますので適宜そちらを御参照ください。
別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」４．（２）で説明したように、二次元・非圧縮性・完全流体の渦無し（非回転運動）の流れの場合、与えられた境界条件のもとに、
を解いてΦまたはΨを求めれば完全に決まる。そのとき速度ポテンシャルΦ（ｘ，ｙ）と流線関数Ψ（ｘ，ｙ）はコーシー・リーマンの関係式
を満たす。
ところで、別稿「カルマン渦列」３．（２）で述べたように、任意の正則関数ｗ（ｚ）を選びぶと、それの実数部Φと虚数部Ψは必ずコーシー・リーマンの関係を満足するからｗ（ｚ）＝Φ（ｚ）＋ｉΨ（ｚ）なる複素速度ポテンシャルの実数部を速度ポテンシャル、Ψを流線関数とするような二次元・非圧縮性・完全流体の渦なしの流れは必ず存在する。そのときｚ＝ｘ＋ｉｙとｗ＝Φ＋ｉΨの間の写像関係をうまく使うことによって様々な境界を持つ定常流と関係づけることができる。
無限遠まで広がっている流体の中を半径ａの無限に長い円柱が、その軸に垂直なｘ軸の正方向に、等速度Ｕで動いている場合を考える。ただし、円柱は静止の状態から運動を始め、充分長い時間の後に現在の状態に達したものとし、したがって流体の運動は渦無し（非回転的）であるとする。また、無限遠においては流体は静止しているとする。
ラプラスの方程式は線形方程式だから解の重ね合わせができる。だから何か特定の解を求めて、それから予想される様々な解を重ね合わせて一般解を表し、それに境界条件を適応して最終的な解を求めよう。
今ｘ軸の正方向に速度Ｕで進む円柱の中心が原点を通過する瞬間の解を求める。その瞬間の円柱の中心（0，0）を直交座標（ｘ，ｙ）および極座標（ｒ，θ）の原点とする。ただしθはｘ軸を初線として反時計回りに取る。そのとき、別稿で説明するように、ラプラスの方程式を二次元極座標で表すと
となる。
この場合の境界条件は
となる。
これは上右図を検討すれば明らかですが、別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」１．(４)２．で説明した境界条件式に、ここでの境界方程式Ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ－Ｕｔ）2＋ｙ2－ａ2＝0を代入してｔ＝0と置くことによっても得られます。
今、ｎを正整数として、Φがcos(ｎθ)またはsin(ｎθ)に比例するものと仮定して
とおく。ただしＲ、Ｓは共にｒだけの関数とする。これを前記の偏微分方程式に代入すると
となる。この微分方程式の特別解はｒn及びｒ-nであるからＡn、Ｂn、Ｃn、Ｄnを定数とすると、Ｒ及びＳは
となる。したがってΦは
となる。このとき任意の正整数ｎに関して前記の微分方程式を満足するので、一般解はそれらを加え合わせた
となる。定数Ａn、Ｂn、Ｃn、Ｄnは境界条件から決まる。
無限遠における境界条件より
となる。
次にこのΦに対して円柱表面における境界条件を適用する。
でなければならない。
ここで付加定数Ｂ0を省略すると速度ポテンシャルΦは
となる。このΦに共役な流線関数Ψはコーシー・リーマンの関係式から得られる微分方程式
を積分して求めることができる。すなわち
となる。
円柱の中心が原点を速度Ｕで通過する瞬間の任意の点（ｘ，ｙ）における流体の速度成分は
となる。
速度ポテンシャルと流線関数を図示すると下図のようになる。ただしここでは速度ベクトルをｖ＝gradΦとして負符号－をとった形でΦを定義しています。そのため速度ポテンシャルの山を駆け上がる方向が速度ベクトルの方向となります。また流線は流線関数の山を左側に見ながら流れる方向になります。［注意!!］
ここでΦ＝定数なる等ポテンシャル線は ｘ2＋ｙ2＋（ａ2Ｕ／定数）ｘ＝0 となるので、座標（ｘ，ｙ）＝（－0.5×ａ2Ｕ／定数、0）を中心とした半径＝（0.5×ａ2Ｕ／定数）の円となる｡等高線の間隔を0.1×ａ2Ｕとした速度ポテンシャルの等高線図は下記の様になる。図では Φ＞2ａ2Ｕ の部分と Φ＜－2ａ2Ｕ の部分は省略している。
ここでΨ＝定数なる等ポテンシャル線は ｘ2＋ｙ2－（ａ2Ｕ／定数）ｙ＝0 となるので、座標（ｘ，ｙ）＝（0，0.5×ａ2Ｕ／定数）を中心とした半径＝（0.5×ａ2Ｕ／定数）の円となる｡等高線の間隔を0.1×ａ2Ｕとした流線関数の等高線図は下記の様になる。図では Ψ＞2ａ2Ｕ の部分と Ψ＜－2ａ2Ｕ の部分は省略している。
両等高線を重ねてみると速度ポテンシャルの等高線と流線は互いに直交しているのが解る。
１．（２）１．における極座標のラプラスの方程式の解のなかで、特に原点に対して対称な解を考えてみる。その場合のラプラスの方程式は
となる。これは直ちに積分できて速度ポテンシャルは
となる。
この解の意味を考えてみる。原点から放射状に伸びる動径に沿っての速度は極座標におけるｇｒａｄの表現から
となる。ここで原点を囲む半径ｒの円筒状閉曲面を考える。この円筒の側面単位長さの表面を通して単位時間に外へ流れ出る流体の体積Ｑは、ｎを外向き法線方向とした面積素片をｄＳとすると
で与えられる。
この場合の流線関数はコーシー・リーマンの関係式から得られる微分方程式を解いて得られる。
すなわち
となる。
これらは別稿「カルマン渦列」２．（３）１．の解の例で説明した三次元の湧き出し点の二次元版です。つまり、ｍ＞0の場合は強さｍの湧き出し点が原点に存在する二次元の流れの場、ｍ＜0の場合は強さｍの流入点が原点に存在する二次元の流れの場を表す。
次に（ｘ，ｙ）＝（ΔＬ/2，0）に強さｍ＞0の二次元湧き出し点が、（ｘ，ｙ）＝（－ΔＬ/2，0）に強さ－ｍ＜0の二次元流入点が存在する場合の速度ポテンシャルを求める。ラプラス方程式は線形なので解の重ね合わせができる。そのため前記のｒを調整して重ね合わせれば、ΔＬが微小な場合
となる。
ここで、ｍΔＬが一定になるようにしてΔＬ→0とした極限の場合を二次元の二重湧き出し点と言う。ｍΔＬはその強さである。上記の式は、１．（２）１．で求めた解でａ2Ｕ＝ｍΔＬと置いたものと全く同じになる。そのため、１．（２）１．で求めた流れの場は原点に強さａ2Ｕの二重湧き出し点が存在する場合の二次元流を表していると言っても良い。
別稿「カルマン渦列」３．（２）２．で説明したように、１．（２）１．で求めたΦ及びΨはある正則関数ｗ(ｚ）の実部と虚部であり、そのｚによる微分（ｄｗ／ｄｚ）が共役複素速度となる。この正則関数を複素速度ポテンシャルといい、１．（２）の例の場合
となる。これは［速度Ｕで原点を通過している円柱のまわりの流れ］を表す解です。
もちろん、これは１．（２）４．で説明した様に、［原点に強さａ2Ｕでその方向がｘ軸の正方向を向く二重湧き出し点が存在するときの二次元流］の解でもある。
また１．(２)３．で説明した、［強さｍの湧き出し点が原点にある時の二次元流］を表す複素速度ポテンシャルは、そこで求めたΦとΨを利用すると
となる。
ただしこの式を別稿「カルマン渦列」３．(３)２．で導いた、［原点に強さｋの渦糸が存在するときの二次元流］を表す複素速度ポテンシャル
と混同しないこと。係数に ｉ のあるなしで全く異なる流れになる。
１．（３）２．で説明するように［ｘ軸に平行でその負方向をに速度Ｕで流れている二次元一様流］の複素速度ポテンシャルは
となる。
また、［ｘ軸の負方向にＵ、y軸の負方向にＶの速度成分で流れている二次元一様流］の複素速度ポテンシャルは
となる。実際その様になることはｗを展開してΦ＝定数やΨ＝定数のグラフを書いてみれば明らかです。
［重要な注意］
二次元・非圧縮性・完全流体の渦無しの流れを規定するラプラスの方程式には時間 ｔ があらわに含まれていないが、それが非定常な流れを含まないという訳ではない。別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」３．(４）５．で注意したように非定常な解も含まれる。
上記の正則関数ｗ＝－ａ2Ｕ／ｚ も、動く円柱まわりの流れと見なすと非定常流の解であり、二重湧き出し点のまわりの流れと見なすと定常流の解となる。そのとき、動く円柱のまわりの流れと見なす非定常な流れでは円柱表面と流線は一致しない。その場合には円柱境界面と流線の関係が分かり難いので、次節で適当な正則関数を組み合わせることにより境界表面が流線となる定常的な流れに変換してみる。
ｘ軸の負の方向へ速度Ｕで流れている一様流中の原点に静止して置かれた半径ａの円柱のまわりの流れ。
この場合の複素速度ポテンシャルは１．（３）１．の解ｗ（ｚ）に、ｘ軸に平行でその負方向をむく速度Ｕを与える複素速度ポテンシャルｗ*＝Φ*＋ｉΨ*を加えておけばよい。
この一様な流れに対する複素速度ポテンシャルｗ*は
である。
前述の正則関数ｗ＝－ａ2Ｕ／ｚ に上記のｗ*を加えたものも正則関数だから、その実部が速度ポテンシャルで虚部が流線関数となる二次元・非圧縮性・完全流体の渦無し流れが必ず存在する。すなわち
となるが、これは［ｘ軸の負の方向に速度Ｕで流れる一様流中に静置された半径ａの円柱のまわりの二次元流］を表す複素速度ポテンシャルです。なぜなら下図から円柱表面が一つの流線となる定常流であることが直ちに読み取れるからです。このように正則関数を組み合わせて、必要な境界条件を満たす流れの解を求めることができる。
速度ポテンシャルと流線関数を図示すると下図のようになる。ただし図ではａ＝1としており、 Φ、Ψ＞4Ｕ の部分と Φ、Ψ＜－4Ｕ の部分は省略している。
両等高線を重ねてみると速度ポテンシャルの等高線と流線は互いに直交しているのが解る。
となる。これらの図では原点付近の様子は省略してある。
この場合、流体が存在する領域は単連結領域とはならず二重連結領域となるが、流体中のいずれの部分もdivｖ＝0､rotｖ＝0を満足する。また、円柱のまわりの任意の経路についての循環もゼロとなる。
任意点（ｘ，ｙ）における速度ベクトル（ｕ，ｖ）を共役複素速度から求めると
となる。
あるいは、流体中の（ｒ，θ）における動径方向ｖrと円周方向の速度ｖθは極座標でのgradΦから求めることができる。それぞれ
となる。
円柱表面における速度分布は上式でｒ＝ａを代入すれば求まり、
となる。ｘ軸上に存在する円柱のよどみ点（ｘ，ｙ）＝（±ａ，0）でｖθ＝0となり、（ｘ，ｙ）＝（0，±ａ）の点でｖθ＝2Ｕとなることが解る。
無限遠で静止している流体中を半径ａの円柱が動く場合を考える。円柱は全く任意の運動をしており、［円柱の中心の座標を（ｘ0，ｙ0）とし、その速度成分を（ｖx，ｖy）＝（Ｕ，Ｖ）＝（ｄｘ0／ｄｔ，ｄｙ0／ｄｔ）とする］。
上記の流れを表す複素速度ポテンシャルは
で与えられる。
実際その様になることはｗを展開してΦ＝定数やΨ＝定数のグラフを書いてみれば明らかです。
この速度ポテンシャルや流線関数のグラフは1．（２）２．で求めたグラフの原点を（ｘ0，ｙ0）に移動してθ＝tan-1（Ｖ／Ｕ）だけ傾けたものになる。
以下に速度ポテンシャルと流線関数の等高線を重ね合わせた図のみ表示する。ただし、ａ＝1、（Ｕ，Ｖ）＝（0.4，0.2）、（ｘ0，ｙ0）＝（0.5，0.5）の瞬間のグラフを4＞ΦorΨ＞－4 の範囲で等高線の標高差＝0.1として描いている。
ついでに、上記の正則関数に円柱の運動方向とは逆向きの一様流を表す正則関数［１．（３）１．で求めたもの］を加えて静止円柱のまわりの流れの様子を表してみる。そのときの正則関数は
となる。
ここでも速度ポテンシャルと流線関数の等高線を重ね合わせた図のみ表示する。ただし、ａ＝1、（Ｕ，Ｖ）＝（0.4，0.2）、（ｘ0，ｙ0）＝（0.5，0.5）の瞬間のグラフを4＞ΦorΨ＞－4 の範囲で等高線の標高差＝0.1として描いている。
流体内の任意の点における圧力は別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」３．（４）５．で説明したように圧力方程式
により計算できる。ただし、ここでは流体実質部分に働く重力は無視して､二次元にしている。
上記の複素速度ポテンシャルｗを時間ｔで偏微分すると
得られる。
一方、ｗをｚで微分した共役複素速度を用いると
が得られる。
これらの式を圧力方程式に代入すると、任意の点(ｒ，θ)における圧力の表式
が得られる。
とくに円柱表面における値（ｐ）r=aは、上式でｒ＝ａと置いて
となる。
［重要な注意］
別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」３．（４）５．で注意したように、定常・非定常にかかわらず連続の方程式には時間ｔがあらわに含まれていないために各瞬間の境界条件が決まれば瞬時に流れの様子は決まり時間的な遅れはない。境界条件が時間的に変化する場合のみ流れは時間的に変化するが、縮まない流体の音速は無限に大きいため境界条件の変化は瞬時に流れ全体に伝わり、その瞬間の境界条件で流れが決まる。その瞬間の境界条件が同じなら、その瞬間の速度場は定常・非定常に関わらず全く同じになります。
この事実は、静止している非圧縮性・完全流体中を固体物体が移動する場合に生じる流れの解析において重要です。もともと静止していた流体だから渦無しの流れとなり、物体表面が時間的に変化する境界条件となる。そのとき物体の周りの流れはその瞬間の境界にのみ依存する。つまり流れの速度場はその瞬間の物体の速度だけに依存し、その物体が過去にどのような速度であったかには関係しない。物体の過去の速度は物体の加速度に関係するのだから、流れの様子は物体の加速度には依存しないことを言っている。実際、今の場合の共役複素速度は
となり、上記の説明を裏付ける。
一方、圧力方程式は（∂Φ／∂ｔ）の項を含むために、圧力場は物体の過去の速度に依存します。つまり加速度にも依存します。事実、この例ではその様になっている。
ここで、単位長さの円柱に働く流体圧力の合計値を求めてみる。粘性の無い完全流体では流体の圧力は円柱面に垂直に働くので、合力は圧力を円柱表面全体にわたって積分すればよい。合力のｘ成分、ｙ成分をＰx、Ｐyとすると
となる。つまり
単位長さの円柱の排除した流体の質量をｍとすれば下記のようになる。
すなわち、任意の加速度運動をしている円柱は、動かさなければならない周囲の流体のために、その加速度の大きさのｍ倍に等しい抵抗力を受ける。これはある意味で予想される結論です。円筒が加速度運動をすればそのまわりの流体質量に加速度を与えなければならないのでその反作用としての外力を受けることになる。
次に円柱が等速度運動をする場合を考えてみる。この場合には
となるので、等速度運動をする場合は流体から何らの抵抗力を受けない。これもよく考えればある意味で当然の結果です。
１．(１)２．や１．(４)１．の前半で説明したように円柱が等速度で動くために周囲の流体も動かされている。そのとき円柱が移動するにつれてその流体の動いている部分はどんどん入れ替わっていく。動く流体は入れ替わるが、動いている様子は同じ状況が等速度で移動しているに過ぎない。これはあたかも質量を持つ物体が等速度運動をしている場合には力が働かないという慣性の法則が成り立つのと同じです。つまり円柱のまわりの流体は等速度運動をしている物体と同様なもので、運動の移動を維持するのに力は必要ないである。そのため円柱にも抗力は働かない。別稿で議論した進行する渦輪もその運動状況を保ったままで等速度で進行していったことを思い出されたし。
これは物体から少し離れたところで物体を取り囲む検査面を想定し、それに運動量の定理［次章で説明］を当てはめてみれば直ちに解る。上で求めたように二次元の場合物体の運動に伴って発生する流体運動の速度はあらゆる方向に対して少なくとも距離の２乗［三次元の場合は３乗］に比例して減少する。一方検査面の広さは距離の１乗［三次元の場合は２乗］に比例して増大する。そのため検査面を無限に広げると流速の方がより高次に減少するので運動量に関する積分はゼロになるからです。
この事実は物体が壁面や他の物体の近くを動くときに流れによる力を受けるという事実と矛盾しない。この場合には検査面を無限遠にもっいてくことができないからです。無限平板に沿って平行に動く球は、その速度に比例し平板との距離の４乗に逆比例する引力を受ける。
１．(２)２．や１．(４)１．の後半で説明した一様流中の円柱のまわりの圧力分布からも円柱に抗力が働かないことが解る。別稿３．(４)のベルヌーイの定理で説明したように、重力の影響が無視できる場合には、流線に沿って(1/2)ρｑ2＋ｐ＝一定が成り立つように圧力は定まる。そのとき円柱表面に沿った流速の大きさは円柱の中心を通り進行方向に対して垂直な面に対して進行方向の前後で完全に対称的になる。流体速度ベクトルの向きは対称的ではないが大きさは完全に対称的に分布する。そのため流体の圧力ｐの大きさも対称的に分布し、円柱表面に垂直に働く圧力の合力はゼロとなる。
これが粘性のない完全流体について流体力学が教えてくれる結論です。普通これはダランベールの背理として紹介されていますが、これは全く背理ではありません。なぜなら、この一見したところ背理的な発見は、単に摩擦を無視した場合に当然として導かれる正しい結論です。ダランベールの時代には摩擦を考慮した計算が難しくてできなかったというだけです。
実際の流体では粘性があるために、円柱表面に摩擦力が働き、円柱表面に働く力は円柱面に垂直にはなりません。そのため物体表面の摩擦による摩擦抵抗が働きます。これは特にレイノルズ数が低い領域（Ｒｅ＜100以下）で顕著になるのですが、ここでは議論しません。［レイノルズ数については別稿で説明予定］
さらに別稿「カルマン渦列」１．（１）で述べたように円柱の背後には複雑な渦運動が起こりそれが抵抗力の原因になります。これを渦抵抗と言います。これはかなり広いレイノルズ数の領域（Ｒｅ＝102～105）で見られるもので、カルマンがそのメカニズムを初めて明らかにしました。
渦が抵抗の原因となるのは、簡単に言えば別稿「カルマン渦列」５．（３）１．で述べたように円柱の背後に円柱を追いかけていくよう動く流体が次々に付け加わっていくからです。円柱の動く方向の速度成分を持った流体部分が時間と共に増えてくると言うことは流体の持つ全運動量が時間と共に増大することを意味する。これは動く円柱が引き起こしたものだから円柱にはその反作用としての抗力が働くということです。この当たりのメカニズムを以下で解りやすく説明します。
最初に、証明に用いる運動量の定理を説明します。
運動量の定理とは積分形式の運動方程式に他なりません。別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」１．（２）３．で、流れの場の微小部分にニュートンの運動方程式を適用して、流体に対するオイラーの運動方程式を得た。これは微分形式の運動方程式ですが、積分形式で表した運動方程式もあり、これを運動量の定理と言う。この形の運動方程式は物体が流体中で受ける力を計算するときにきわめて有効です。
このとき、別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」１．（２）３．で特に注意しましたが、固定された空間領域ΔｘΔｙの中にある瞬間存在する流体の実質部分は次の瞬間には最初の空間固定領域ΔｘΔｙから外れた部分へ移動しています。移動しているのですが、最初の領域ΔｘΔｙに含まれている実質部分の加速度（運動量の時間的変化）を決めているのは最初の固定領域ΔｘΔｙ中に含まれる流体要素に働く力の合力です。だからラグランジュの微分で表された流体の実質部分の加速度（Dｕ／Dｔ，Dｖ／Dｔ）が最初の空間領域ΔｘΔｙに働く力の合力に関係します。
別稿１．（２）２．で注意しましたが、加速度の表現がｄｕ／ｄｔではなくてＤｕ／Ｄｔとなるのはラグランジュ形式の独立変数が（ａ，ｂ，ｔ）なのに対してオイラー形式の独立変数が（ｘ，ｙ，ｔ）だからです。それ以外の理由はありません。これはオイラー形式で、移動していく流体の実質部分の加速度を、表現するために必要になった微分です。つまり独立変数を（ａ，ｂ，ｔ）ではなくて（ｘ，ｙ，ｔ）にしたから出てきたのであって、このとき（ｘ，ｙ）が空間に固定された座標値だからこのような表現にせざるを得ないのです。
以下では理解しやすくするために二次元で説明します。運動している流体内の空間に固定された任意の閉曲線Ｃをとり、この領域内をある瞬間に通過する流体について考える。この空間に固定された閉曲線を一般に検査面といい、その形状は問題に応じて適宜に取る。任意時刻ｔにＣ内にあった流体は単位時間後にはその領域から少しずれた位置に移動しています。ここで特に注意してほしいのですが、検査面Ｃはあくまで空間に固定されているのであって、流体と共に動いているのではありません。世に流布している教科書の説明はこの点が実に曖昧です。
閉曲面Ｃで囲まれた領域Ｓ内の空間に固定されたある微小な体積要素ΔｘΔｙを考える。この体積要素は空間に固定されているが、その中に含まれる流体の実質部分は時と共に新たに流入し、かつ流れ去って入れ替わっている。そのとき別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」１．（２）３．で求めたように、ある瞬間にたまたまその体積要素中に存在する流体要素に関して
の関係式が成り立つ。
オイラーの運動方程式を領域Ｃの全体にわたって加え合わせる。そのとき、当然のことですが空間に固定された検査領域全体に関しても２．（１）の□で囲った中で注意した事柄が成り立つと考えねばならない。
微小体積ΔｘΔｙの表面に働く圧力は隣り合った微小体積の表面に働く圧力と互いに打ち消しあうことに注意すると下記の様に変形できる。
前式の左辺第二項と右辺第二項の検査領域表面Ｃに対する線積分の意味を説明する。前記の図では正負の関係が分かり難いので、正負の意味を理解しやすい位置のｄＳについて改めて図示すると、
となる。つまり左辺第二項は領域表面Ｃを通じて単位時間に領域Ｓに出入りする運動量を表しており、右辺第二項は表面に働く圧力の合計値を表している。上で得た関係式をベクトル表示すると
となる。これが運動量の定理と言われるものです。この式の各項は以下の意味を持つ。
このとき二次元・非圧縮性・完全流体の条件が必要であることと、検査境界面Ｃは空間に固定されていることは注意してください。さらに、この式は渦有り・非定常な流れについても正しい。世に流布している教科書ではこの部分の説明が実に曖昧なので、特に注意しておきます。
領域Ｓ内に任意の動きをする物体が存在しても良い。その場合には上記の検査閉曲面Ｃとして領域の外側を囲む境界面Ｃ外と時刻ｔにおける物体境界面Ｃ内の両方を考え、二つの閉曲面の間の領域をＳ’とすればよい。そのとき面Ｃ内の法線ベクトルは物体内部の方向に向くとする。
内側の境界面Ｃ内は時間と共に動いていくが、運動量の定理を適用する各瞬間においては、境界面Ｃ内も空間に対して静止していると考える。物体表面の流体速度ベクトルが、その瞬間に静止している検査境界面Ｃ内を出入りする運動量に関係すると考えればよい。
ただし、１．（２）１．で説明したよう物体表面の速度ベクトルと、物体表面に位置する流体の速度ベクトルは一致しない。物体表面に沿った方向の速度ベクトル成分だけの違いが存在する。今は粘性のない完全流体を考えているので、その様な物体表面の滑りが存在するとして良い。
その様に考えると前記の式は
の様に拡張できる。ここでＣ内についての積分値の符号がＣ外の積分値のそれと反対になっているのは、ｄＳに関する線積分はＣ外と同じ反時計回りに実施するのですが、面の法線ベクトルを内向きとしているからです。
このとき、右辺第３項は物体が検査領域の流体に及ぼす圧力の合計値ですから、それを（Ｐｘ，Ｐｙ）とすると、その反作用力（－Ｐｘ，－Ｐｙ）がまさに物体に働く抗力Ｐ物に相当します。つまり
となる。Ｐ物は内側検査面(物体表面)を通して物体が流体から受ける力ですから、この形の運動量の定理は物体が流体中で受ける力（抗力）を計算するときに便利です。次の章で用います。また別稿「複素数の積分」２．(１)２．のブラジウスの第一公式の別証明にも利用できます。
［補足説明］
運動量の定理と同じようにして、運動量モーメントの定理(角運動量の定理)も同じようにして証明できます。詳細は別稿「運動量モーメントの定理(角運動力の定理)」を御覧下さい。
流れの中に柱状物体を置いたり、静止した流体中で柱状物体を動かしたりする場合、物体の背後にカルマン渦列が生成し、この渦が流体に運動量を付加する。カルマンは、これが柱状物体が受ける抵抗に関係するすることを運動量の定理を用いて明らかにした。
数学的に取り扱えるようにするために次の様な仮定を置く
一つの柱状物体が速度－Ｕ0なる速度で静止している流体中を左方に移動していて、その背後に渦糸間隔ａ、ｂで上下渦列を構成する渦糸の強さが－kとｋのカルマン渦列が生じているとする。
このとき、系全体にＵBなる速度を加えると、渦列は静止し、物体は－Ｕ0＋ＵBなる速度で左方に動き、また渦列の近くを除けば流体はＵBなる速度で右方へ動くことになる。等速度で移動する座標系に移動してもガリレオの相対性原理により運動方程式はそのまま成り立つ。
この状況で、上図のように検査矩形領域の中央付近に運動物体がくるように空間に固定された矩形検査面ＡＢＢ’Ａ’考える。このとき、矩形の一辺の長さは物体の大きさや渦列の間隔ａ、ｂに比べて充分大きくなるように取る。
座標のｘ軸を渦列の中心線に一致させ、移動物体から充分後方に座標の原点を取る。原点は、それに近い４つの渦糸を頂点とする平行四辺形の中心になるようにする。そして検査面のＢＢ’辺がｙ軸に重なるようにする。原点の取り方から明らかなように、この矩形周縁上には渦糸はない。
また、進行する円柱状物体の各瞬間における表面も上記の検査面に含める。そのため運動量の定理を適用する検査領域はその二つの曲面の間に挟まれた流体領域と言うことになります。
渦糸は進行する物体の両サイドにそれぞれ時間間隔τで発生して物体の通過した背後に次々と配置されていく。物体は渦糸に対して相対速度Ｕ0－ＵBで離れてゆくので、単位時間当たりの渦対の発生個数ｎと、渦対が一組ずつ発生する周期τは
となる。
前節の検査領域の流体に対して２．（３）で求めた運動量の定理を適用する。
右辺第３項は検査領域中の流体が物体からから受ける圧力の合力を表しているが、これを（Ｐx，Ｐy）と記すことにする。そのとき、物体はその反作用力としてＰ物＝（－Ｐx，－Ｐy）の力を受ける。これこそ流体中を移動する物体が流体から受ける抗力ですから、上記の運動量の法則の各項を求めればこの抗力を求めることができる。
領域中心では柱状物体が運動しており、その背後には、毎秒当たりｎ＝１／τ＝ａ／（Ｕ0－ＵB）の渦対が次々と発生しているので、矩形検査領域の中心付近では定常状態とは言えない。［下図参照］
そのため検査領域内の流体の運動量は時々刻々増大している。そこで、ある瞬間に検査領域内の流体が持つ運動量を（Ｑx，Ｑy）と書くことにして、その時間的変化率（∂Ｑx／∂ｔ，∂Ｑy／∂ｔ）を求める。
これを求めるには、別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」４．（２）２．で求めた渦対の複素速度ポテンシャルを用いればよい。そこで設定した渦対の位置を反時計回りに90度回して、そこのａをｂ/2で置き換えればよい。つまり検査領域中心付近で新たに現れだ渦対の位置に座標原点を移して、渦対の内の強さ－ｋのものが座標（0，ｉｂ／2）に、強さｋのものが（0，－ｉｂ／2）に現れるとする。実際は互い違いに生じるのですが上下に並んで現れるとして、その当たりの違いは無視している。
この複素速度ポテンシャルを用いれば渦対が存在する前と、渦対が現れた後の流体の速度の変化量が解る。渦対が生み出す速度ベクトル場の様子は下記の様になります。
この速度ベクトル場に流体密度ρを乗じて検査領域全体にわたって積分する。これは渦対の発生間隔τの間に生じる運動量変化ですから、単位時間当たりの運動量変化（∂Ｑx／∂ｔ，∂Ｑy／∂ｔ）にするには積分値をτ＝ａ／（Ｕ0－ＵB）で割ればよい。
［注意］
このとき別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」４．（２）３．で説明したように、渦対を静止させるためにはｘ軸の正方向へ速度ｋ／(4π(ｂ/2)）で流れる一様流を表す複素速度ポテンシャルを足しておかないといけないのですが、ここでは付け加えません。すでに存在している一様流ＵBがその働きをして今考えている座標系で渦対はほぼ静止するとする訳です。求めたいのは［ＵBで右方向に一様に流れていた状態の運動量］と［渦対が新たに現れたときの運動量］の差です。新たに創出された渦対はＵBの流れの中に現れた結果として静止していると考えるのです。だから（ｋ／2πｂ）ｚは加えていないのです。
実際のところ、新たに発生する渦対は、それまでに存在する渦列の影響下に付け加わります。そのとき、カルマン渦列の場合のｂ／ａ＝0.2806を用いると
となりｋ／（2πｂ)はＵBと一致しませんが、カルマン渦列の議論で用いた仮定の状況下では既存の渦列とどの様に関わるのか論じようがないのですから、上記のような取り扱いをせざるを得ません。
ここでは領域を定める矩形境界面を充分大きく取っているので矩形境界面（二次元では境界線）ではあらゆる場所で定常的であるとして良い。ＢＢ’境界線の渦列付近を図示すると下図のようになるが、ここでも流れは定常的で時間的に変化しない［この図はすでに、別稿５．（３）３．で求めている］。
そのとき、矩形検査境界面ＡＢＢ’Ａ’を通して単位時間に検査領域内に流入する流体の運動量を（Ｑx*，Ｑy*）と表すことにする。
検査境界面を通して単位時間に出入りする運動量を求めるためには検査境界面における速度分布が解ればよい。矩形検査領域が充分大きいと仮定しているので、物体とＢＢ’線（原点）の間には充分多数の渦糸が並んでいる。もちろん原点より右側(x軸の正側)には渦列が無限に並んでいるとしている。そのため辺ＢＢ’線上の位置での複素速度ポテンシャルｗ’は、仮定２が満足されているとして求めた別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」５．（２）１．と５．（３）３．の結論と同じになります。すなわち
［辺ＢＢ’上］では
となる。このとき共役複素速度は別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」５．（３）１．の式変形を参考にすると
となる。渦対が生み出す速度ベクトル場の原点付近の様子は下記の様になります。
また、辺ＢＢ’以外の［辺ＡＢ、辺Ｂ’Ａ’、辺Ａ’Ａ］の上では全て一様流を表す複素速度ポテンシャルを利用すればよい。すなわち
となる。これらの複素速度ポテンシャルから検査境界面上（二次元だから境界線）の速度分布を求めて、境界面上での運動量の流入を求める。それを面（境界線）全体にわたって積分すれば（Ｑx*，Ｑy*）を求めることができる。
［注意］
物体表面が各瞬間に静止しているとして設定した内側検査面についても運動量の出入りを考えないといけないが、そこでの速度分布を得るすべがないのでこの項の寄与は無視する。実際は物体の運動に伴い次々と渦対が発生しているのだから物体表面ではきわめて複雑な速度変化が生じているはずですが、それをもとめるのは不可能なので物体表面積がそんなに大きくないことから無視することにする。
検査領域内の流体が、矩形検査曲面の周縁をとおして外部の流体から受ける圧力の合力を（Ｐx*，Ｐy*）とする。矩形検査面上では流れは定常的であるとして良いから、検査面上での圧力は定常状態で成り立つベルヌーイの定理を用いて、検査面上での流体速度から求めることができる。その速度分布は、上で述べた複素速度ポテンシャルｗ’を用いて求めればよい。そのようにして得られた圧力を矩形検査面全体にわたって積分すれば（Ｐx*，Ｐy*）を求めることができる。
［注意］
左辺第２項と右辺第２項は同じ検査境界面についての積分（二次元の線積分）ですから、被積分関数をあらかじめ一緒にしてから線積分を実施したほうが簡単です。実際、次節での計算はその様にします。
運動量の定理を二次元の成分表示にもどすと
となる。以下でそれぞれの項の積分を実施する。
前記式の左辺第１項に３．(２)２．で求めた速度分布（ｕ，ｖ）を代入して、体積積分(二次元だから面積分)を実施して渦対の発生にともなう流体の運動量増加分を求める。
渦対が発生したことにより、増大した運動量のｘ方向成分を求めると
となる。
ｙ＝一定の直線上でｕをｘの－∞から＋∞まで積分した値がｙに依存せず同じ値になるのは奇妙に見えますが、以下の事情に注意すれば納得できます。すなわち、速度ベクトルの絶対値はｙ＝一定の積分経路が渦糸に近づくにつて大きくなるが、速度ベクトルのｘ成分の割合はｙ＝一定の積分経路が渦糸に近づくにつれて小さくなるからです。ｙに依存しなくなるために、ｘ軸方向の運動量成分は－ｋとｋの渦糸の効果が互いに打ち消し合って、ｙ＜－ｂ／2とｂ／2＜ｙの領域ではゼロになる。
ｙ＝一定の線に沿ってｕの値は変化しますが、ｕの値をｙ＝一定の線分上で積算するとｙ＜－ｂ／2とｂ／2＜ｙの領域では結局ゼロになります。積算したものがゼロでないのは－ｂ／2＜ｙ＜ｂ／2の領域のみです。
この結果を別項４．(２)２．に示した渦対の流線図と比較してみてください。そこの流線は非定常な流れのもので実際に流体が動いていく流跡線とは異なっていますが、各瞬間の速度ベクトルの方向は示しています。
運動量のｙ方向成分も同様に計算すると
となる。
速度のｙ成分であるｖ（ｘ，ｙ）は同じｙの値についてｘ軸を境にして互いに反対方向を向いている。すなわちｘ＞0の領域ではｘ軸に向かって集中する方向に、ｘ＜0の領域ではｘ軸から両サイドに離れる方向に向いている。そのため積分値はゼロになる。
上記の運動量変化は時間間隔τで生じるのだから、単位時間当たりの運動量変化（∂Ｑx／∂ｔ，∂Ｑy／∂ｔ）にするにはこれらの値をτ＝ａ／（Ｕ0－ＵB）で割ればよい。すなわち
となる。
実際には渦は渦対としてではなくて互い違いに一ずつ発生する。そのため上記のｘ成分が渦の発生周期τで変動するのはもちろんですが、ｙ成分もゼロではなくて、ゼロを中心に周期τで振動する成分があります。しかし、そこまで考えると計算が面倒なので上記の値で近似したのです。
ここでビオ・サバールの法則を適用して渦が生み出す回転する流れを求めましたが、渦が存在するから、ビオ・サバールの法則に従って、その周りの流体に回転するような速度成分が生じるわけではありません。
正しくは次のように考えるべきです。静止している流体の中に無理遣り円柱が進入してくるわけですが、そのとき、ラグランジュの渦定理（つまり運動方程式）に従って境界条件を満足するうず無しの流れが発生します。そのとき円柱という得意な形をした境界が移動するために円柱背後の死水域（円柱と共に動いていく）とその外部との間に速度差が生じる結果として円柱背後に渦が存在することになったのです。その結果渦列が円柱背後に連なることになったのです。
そのとき当然のことですが、円柱の側方の上下部分では円柱の前方で押しのけられた流体が集中しますので円柱付近では右側の流速が大きくなります。その影響は当然円柱から上下方向に離れれば小さくなるはずです。また円柱背後には円柱が進んでできる空白領域を埋めるように左方向く流れが生じます。それはまさに上図に示した通りの流れです。このとき結果として生じた渦糸の強度と、その周囲の流れの場は互いにビオ・サバールる法則を満足する関係になっているということです。
そのとき特に注意して欲しいことは渦糸の部分以外は、いくら回転するように流れていても渦無しの流れであることです。これは別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」２．（２）２．補足で特に注意したことです。また、別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」３．（３）３． で注意したように境界面ではラグランジュの渦定理は成り立たないのだから渦がそこで発生しても良い。渦は発生するが、それ以外の部分は渦無しの流れを満足するように変形してきています。つまり死水域との境界面以外の領域（死水域を含めて）はうず無しの流れを満足するように流れが形成されたからこそ境界面から渦が発生してきたのです。そのため、生じた渦糸の強度とその周囲の流れの関係は互いにビオ・サバールの関係を満足するようになっているということです。
この当たりは別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」２．（３）２．や３．（１）２．でポテンシャル論におけるグリーンの定理を用いて証明しましたが、ポテンシャル論での議論であるということは渦が存在するところ以外は非圧縮性・完全流体の渦無しの流れを満足すると言うことです。ポテンシャル論で取り扱えるということの中に、ラグランジュの渦定理（すなわち運動方程式）がちゃんと関わっています。
この計算を実関数でやるとかなり面倒です。そのため複素積分を利用する。
運動量流量項と圧力項は同一の検査境界面についての面積分(二次元だから被積分関数を統合できます。境界面上では定常流が実現されているので、二次元・非圧縮性・完全流体の定常流のベルヌーイの定理が成り立ちます。これを用いて圧力を速度に変換すればよいのです。
このとき是非注意してほしいのですが、渦糸が存在する場所以外は渦無しの流れです。そして境界面上には渦糸は無いので渦無しの場合に成り立つベルヌーイの定理が利用できます。そのためベルヌーイの定理に現れる定数は境界面（二次元なので境界線）全体にわたって共通な値になります。
複素積分を用いるために共役複素力Ｆx*－ｉＦy*＝（Ｑx*－Ｐx*）－ｉ（Ｑy*－Ｐy*）を導入すると
となる。ところで３．（２）３．で説明したように
だから、これを上式に代入して積分を実施すればよい。
となる。実行している事柄はそんなに難しい事ではないのですが、実際の関数計算はこのようにかなり複雑になります。
ここでＦy*の値はy軸を下記の様に取ったときの値であるが、ｙ軸を下図のｙ’やｙ”の位置にａ／２だけずらすとａの値は変わらないがｂは－ｂとなりとなるので、Ｆy*のtanh（πｂ／ａ）の符号は逆転する。つまりＦy*はｙ軸の位置を適当に動かして平均化するとゼロになる。そのときＦx*はｂを－ｂに置き換えてもｂ×tanh（πｂ／ａ）の符号は変化しない事に注意されたし。
このとき物体が静止した座標系に移ると検査面であるｙ軸の位置が渦列の上を移動速度Ｕ－ＵBで左方向に移動する事を意味する。そのためその座標系ではＦy*の値は周期τ＝ａ／（Ｕ－ＵB）で周期的に変動することになる。もちろん時間的に平均するとゼロになる。結局
となる。厳密な話をするとｘ成分もｙ成分と同じようにａ／（Ｕ0－ＵB）の周期で周期的に変動する成分が存在するはずです。それを考慮した計算は非常に面倒なので上記の式で近似するのです。
３．（３）と３．（４）で求めた成分を３．（２）５．の運動量の定理に代入すると
となるが、移動する柱状物体に働く抗力（Ｆx，Ｆy）は物体が流体に及ぼす力（Ｐx，Ｐy）の反作用力（－Ｐx，－Ｐy）だから
となる。次章でこの式の正当性を評価する。
実際の場合は物体の背後には安定なカルマン渦列が生成するのですから、別稿「カルマン渦列（動的安定性）」６．（２）４．で示したように
となり、これをＵBの式に代入すると
となる。これらの値を用いると抵抗力Ｆxは
となる。普通は進行方向に垂直な方向における柱状体の最大幅をｄとしたときの値
で割って、Ｆxを無次元化して表す。これを抵抗係数ＣDという。
この公式は渦列に関する量ａとＵBを用いて表されているため、物体の大きさｄと形状が与えられても直ちに抗力Ｆxを求めることはできない。この式の正当性を評価するには個別の物体に対してａやＵBを実験から求める必要がある。
なぜそうしなければならいなのかと言うと、ここの議論を読まれたらお解りのように、渦そのものが出来るメカニズムについては何も解っていないからです。流動域と死水域の境界に生ずる渦層は不安定だから渦糸に巻き上げられ集約されていくだろうと言うことが予測できるだけです。
いつか将来、粘性係数μ・物体の形状・Ｕ0が与えられたときどの様なａやＵBの渦が出来るか予測できる様になれば良いのですが、現状では当分無理です。今いえることは、渦列ができればａとｂ、およびｋとａとＵBの間にある特定な関係があるという事だけです。もちろん、それが解るだけでも大したことですが。
とりあえず、渦の実測値を用いた検証例を次に紹介する。
Ka'rma'nおよびRubachが直径1.5ｃｍの円柱を使って実験（レイノルズ数2000～3000）した結果は
でした（Physik.Zeitschr.,1913年,p49）。これらの結果を用いると抵抗係数ＣDは
となる。O.Fo¨pplが直接測定した値は
でしたから、カルマンの理論式は円柱の場合は実験結果と良く一致する。
さらに、流れに垂直に挿入された板の場合にも理論と実験との比較がなされた。板の幅をｄとすると実験からａ／ｄ＝5.5、ＵB／Ｕ0＝0.20が得られた。この値を理論式に代入すると抵抗係数の理論値ＣD＝1.6が得られる。Flachsbartの実験による測定値はＣD＝1.7であったから、この場合も誤差は6％程度でした。
回想の中でカルマンが自慢しているように、だいたいにおいて理論は現実の現象を旨く説明すると言って良いでしょう。
３．（３）３．と３．（４）２．の最後で注意したように、渦は物体の背後に互い違いに発生して二本の渦列を構成しながら物体から離れていくために、物体には進行方向と垂直な力が方向を変えながら交互に働く。流体の流れの中に置かれた構造物はカルマン渦列の発生に伴うこの周期的な力を受けて振動数ｎ＝１／τ＝（Ｕ0－ＵB）／ａで振動することになる。
もし振動数ｎが構造物の固有振動数と一致すると共鳴振動が起こり構造物に重大な影響を与える。そのため工学においてこの現象を正しく理解することはきわめて重要です。このことについては別稿で詳しく説明します。
流れの中に置かれた弦などは一定の振動数で振動し音を発するが、このような音響的現象は古くから知られていた（イオルス琴(Aeolian harp)など）。1878年にストローハル（Strouhal）は、直径ｄの円柱の場合にｄやＵ0の組み合わせを色々変えても、振動数を無次元化したｎｄ／Ｕ0が常に0.2に近い値を取ることを確かめた。この値はかなり広い範囲のレイノルズ数Ｒｅ＝Ｕ0ｄ／ν＝103～１０5でほぼ一定となる。そのため今日この無次元量ｎｄ／Ｕ0をストローハル数という。この値は物体の形状により変化する。ちなみに流れに垂直に置かれた平面板の場合ｄを板の幅とすると、ストローハル数は0.148～0.158程度となる。また平板の抵抗係数ＣDは１.7程度になる。
円柱の場合で、表面がなめらかで気流の乱れが少ないならば、抵抗係数ＣDとストローハル数は下図の様に変化する。横軸Ｕ0ｄ／νはレイノルズ数です。νは動粘性係数で粘性係数μを流体密度ρで割ったものです。
レイノルズ数が105を超えると抵抗係数ＣDは急激に減少し、ストローハル数は急増する。気流の乱れが大きく、表面が粗い場合には、この変化点はより小さいレイノルズ数側に移動する。この抵抗係数の変化は乱流が発生して流れの様子が全く異なった様相を呈するためで、この稿でした渦列の議論は全く成り立たなくなる。抵抗係数急減の説明には乱流境界層の考え方が必要で、後にプラントル（Prandtl，1914年）により与えられた。
また、レイノルズ数が小さい領域（30以下）で抵抗係数ＣDが増大するのは、圧力の項より粘性による物体表面の摩擦の効果が勝ってくるからです。この稿での議論はあくまで粘性のない完全流体についてのものですから、この領域でも渦列の理論は成り立たなくなる。ここは粘性の効果を取り入れたナビア＝ストークス（Navier=Stokes）の運動方程式を解かねばならない。その近似的な解法がStokes（球1851年）、Oseen（球1910年）、Lamb（円柱1911年）等により研究されて解決されている。
流体中を進む物体の受ける抵抗には摩擦抵抗、造波抵抗（水面を動く場合）、造渦抵抗があります。摩擦抵抗は物体表面と流体がこすれて生じるもので、そのとき物体がする仕事は最終的に熱エネルギーとなって散逸する。この抵抗力は解りやすい。また、船などが水面を進むとき受ける造波抵抗ですが、これは船が進行することで波を発生する仕事をし、そのとき生じる運動エネルギーが波として周囲に伝播・拡散することで生じる。これも何となく理解できます。
しかし、物体の背後にできる渦が原因の造渦抵抗を理解するのはなかなか難しい。突き詰めると文献５．P309でプラントルが解説しているように、”物体の進行に伴って発生する二本の渦列の間では、流体は物体の方に向けて逆流しており、物体の進行方向へ動く流体が増大していく。これが抵抗の原因”なのですが、そういった意味でそれらの関係を明らかにしたカルマンの仕事はやはり画期的なものだと思います。
ここで得た最終的な結論は様々な本で紹介されていますが、それを導く計算過程を記述しているものは少ない。きちんと説明してあるのは私が知る限り文献１．だけですので、今回もそれを主に利用しています。しかし、その説明はかなり回りくどく難解なので、できるだけ解りやすくなるようにしました。
ここでの議論は、渦ができるメカニズムについては棚上げにして、流体中で物体を動かすと背後に渦列ができるという実験事実のみをよりどころにして展開されています。とにかく渦列ができる事実を認めて、そこから逆に物体に働く抗力を求めてみようというものです。
渦は粘性の為に生じるのにそのことは全く考慮していませんし、渦が新たに付け加わることによる流体の運動量の変化もかなり恣意的な渦対の発生で求めています。さらに、検査面での運動量の出入りについても物体表面が構成する内側検査面に関しては無視しています。また、物体の背後にしか存在しない渦列を物体の前も含めて前後に無限に続くと仮定しているのもかなり荒っぽい近似です。そのようにかなりいい加減な議論ですが、渦が次々とできることが流体中を動く物体の抵抗力の原因であることを明らかにした点で画期的です。やはり偉大な功績だと言っても良いでしょう。
ここの議論から、事実とつきあわせながら理論を継ぎ接ぎして泥縄式に解析する流体力学のやり方が良く解ります。流体力学の手法を学ぶには最適な例題です。今日、粘性を考慮した上で境界層や乱流の存在を仮定したさらに進んだ議論がなされていますが、それもこういったやり方の延長線上にある。