上図の（ｘ，ｙ，ｚ）座標系をｘ軸の周りに角度θだけ回転させた座標系を（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とする。その際、右手系の場合反時計周りに正とする。そうすると点Ｐの（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の値は（ｘ，ｙ，ｚ）とθを用いると以下のように表される。
同様に、ｙ軸とｚ軸の周りの回転については
と表される。
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天球上の天体の位置を議論する位置天文学は、あらゆる天文学分野の基礎です。位置天文学の最も重要なツールが座標回転公式と球面三角法です。高等学校では習いませんが、知っておくと便利なのでここで説明します。
下図の様に球面上の点Ｐを、右手系３次元直交座標系（ｘ，ｙ，ｚ）座標系で表す。
上図の（ｘ，ｙ，ｚ）座標系をｘ軸の周りに角度θだけ回転させた座標系を（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とする。その際、右手系の場合反時計周りに正とする。そうすると点Ｐの（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の値は（ｘ，ｙ，ｚ）とθを用いると以下のように表される。
同様に、ｙ軸とｚ軸の周りの回転については
と表される。
この３つの回転行列を用いれば任意の回転で得られる新座標系（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の座標値を旧座標系（ｘ，ｙ，ｚ）の座標値で表すことが出来る。今新しい座標系（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が旧座標系（ｘ，ｙ，ｚ）をｘ軸の周りに角度αだけ回転させて（ｘ，Ｙ’，Ｚ’）とし、それをさらにＹ’軸の周りに角度βだけ回転させて（Ｘ’，Ｙ’，Ｚ）とする。そしてさらにＺ軸の周りに角度γだけ回転させることによって（Ｘ，Ｙ，Ｚ）に一致させることが出来るとすると新旧の座標は次式で関係づけられる。
最終的な成分計算は行列の積のルールに従って右から順に計算すればよい。
天球上の天体Ｐの位置は下図の様に右手系３次元直交座標系や、極座標系で表すことができる。それぞれの成分表示を（ｘ，ｙ，ｚ）と（ｒ，α，δ）すると、図から明らかなように両者は下記の関係式で結びつけられる。
ここで、Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）をＰ’（ｘ＋ｄｘ，ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）に変化させたときの微少変位ｄｘ，ｄｙ，ｄｚとｄｒ，ｄα，ｄδの間の関係を求める。
上図のｘ0ｙ平面と、ｚ0Ａ平面を拡大して表示する。図を検討すれば下記の関係が成り立つのは明らかである。
以下の状況も良く用いられる。
線素ｄｓの表現からそれぞれの微小単位セルの計量テンソルを求めておくと
となる。
［補足説明１］
微小変位の逆変換式を導くには、連立方程式
をCramerの公式によって解けば良い。そのとき係数の行列式は
となるので、各成分を計算すれば
となるので、逆変換してとして
が得られる。
もちろん、この変換係数の行列は前出の変換係数とは“逆行列”の関係
にある。
さらに、上記係数を
に従ってｘ、ｙ，ｚの関数に変換しておけば変換式として完璧です。
［補足説明２］
上で述べたように、逆変換の変換係数の行列は元の順方向変換の変換係数がつくる行列に対して、“逆行列”の関係になっています。
ところで、別稿「余因子行列と逆行列の関係」1．（3）で説明したように、逆行列の成分は元の行列の“余因子行列”から構成することができます。だから、その方法を用いて逆変換の変換係数を求めても良い。
であるから、これを用いて実際に計算してみると
となり、確かに逆行列が得られる。
［補足説明３］
多重積分の座標変換で必要になる体積素の変換式（ヤコビの定理）を導くと以下の様になる。
ここで解りにくい所は、上記の
（１）線形座標変換（線形写像）を“行列表示”できる。
（２）“行列”の積を“行列式”の積に変換できる。
ことだと思います。
（１）については別稿「行列式と行列」２．（６）２．を参照。
（２）に付いては別稿「行列式と行列」２．（１）４．の定理１と、その定理証明の元になった別稿「行列式と行列」１．（６）１．の定理13を御覧下さい。
［補足説明４］
このとき上式は、下図で示されている同じｄｓを形成するdxdydzの微小体積素片の実際の体積値とｄｒｄdθｄφで構成される微小体積素片の実際の体積値との関係を示しているのではありません。
それでは、“Jacobiqn”＝｜∂(x,y,z)／∂(ｒ,θ,φ)｜＝ｒ2sinθは何を表しているのかといいますと、 ｄｘ＝1，ｄｙ＝1，ｄｚ＝1 で構成される体積素片の実際の体積値と、 ｄｒ＝1，ｄθ＝1ｒａｄｉａｎ，ｄφ＝1ｒａｄｉａｎ で構成される体積素片の実際の体積値との比を表しています。この場合、“Jacobian”はｒとθの関数ですから、この比は場所と共に変化します。
このことの意味は非常に解りにくいのですが、このことに付いては別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」４．（６）５．で説明していますので、そこの図を復習して下さい。
また、別稿「重積分の変数変換とヤコビアン（リーマン空間における多重積分）」を御覧下さい。
球面三角形とは３つの異なる大円で作られる三角形のことである。大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったときの切り口の円のことである。次図の様な単位球面上の球面三角形ＡＢＣで、３つの角Ａ、Ｂ、Ｃと３つの辺ａ、ｂ、ｃが定まる。これらの間に下記の関係が成り立つ。
１．（１）の結論を用いれば球面三角形に関する基本公式を導くことが出来る。
まず、下図の様に座標系（ｘ，ｙ，ｚ）と座標系（Ｘ，Ｙ，Ｚ）を取る。
上図に於いて、座標系（ｘ，ｙ，ｚ）を①ｚ軸の周りに角度（－Ｂ）だけ回し、次に②新しいｙ軸の周りに角度ａだけ回転する。そして最後に③新しいｚ軸の周りに角度（π－Ｃ）だけ回転すると座標系（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が得られる。
この座標回転で結びつけられる座標系（Ｘ，Ｙ，Ｚ）と座標系（ｘ，ｙ，ｚ）に対して１．（１）の関係式を適応すれば
となる。
この関係式を図中の点Ａに対して適応すれば
の関係式が得られる。つまり
となる。
ここで（３）式は余弦法則を表している。
（１）式と（２）式から右辺第一項を消去すると
という正弦法則が得られる。
（１）式と（２）式から右辺第二項を消去すると正弦余弦法則
が得られる。Ａ点に関して得られたこれらの三式は、角度について（Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ）、辺について（ａ→ｂ→ｃ→ａ）の置き換えを順番にすることによってＢ点、Ｃ点に関する同様な式となる。
下図の様に球面三角形ＡＢＣにＡ点で接する平面三角形ＡＢ'Ｃ'を考える。角OAB'＝角OAC'＝π／2である。
平面三角形ＡＢ'Ｃ'の余弦定理を利用すると
となる。
また平面三角形ＯＢ'Ｃ'に同じく余弦定理を適用すると
となる。
ここで（１）＝（２）とすると
となる。両辺にcos2ｂ･cos2ｃを乗じると
となり球面三角形の余弦法則が得られる。角Ａに関して得られた（３）式は、角度について（Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ）、辺について（ａ→ｂ→ｃ→ａ）の置き換えを順番にすることによって角Ｂ、角Ｃについての式となる。
次に、（３）式より
この両辺を二乗すると
となるが、両辺をｓｉｎ2ａ･ｓｉｎ2ｂ･ｓｉｎ2ｃで割り算すると
が得られる。残りの二つの余弦法則から同様な式
が得られる。これら三式の右辺はすべて等しいので
となるが、平方根を取ると
となる。ここでＡ、Ｂ、Ｃ、ａ、ｂ、ｃはすべてπより小であるから＋の符号のみを選択すればよい。そうすると正弦法則が得られる。
余弦公式（３）のｃｏｓｃにさらに余弦法則を適応すれば
となり正弦余弦法則が得られる。他の法則は角度について（Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ）、辺について（ａ→ｂ→ｃ→ａ）の置き換えを順番にすれば得られる。
ここの説明は下記の文献を参考にしています。高校生向きに出来るだけ解りやすくしました。
