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古典力学(classical mechanics)

　Herbert Goldstein著『古典力学』吉岡書店1959年刊（源本は1950年刊）の引用です。ただし、かなり改変しています。

第Ⅰ章　基本原理の概観
第Ⅱ章　変分原理とLagrangeの方程式
　　　　　　　1．Hamiltonの原理
　　　　　　　2．変分法における二,三の手法
　　　　　　　3．Hamiltonの原理からLagrangeの方程式を導くこと
　　　　　　　4．保存的でない,非ホロノミック系に対するHamiltonの原理の拡張
　　　　　　　5．変分原理による定式化の利点・
　　　　　　　6．保存法則と対称性
　　　　　　　7．参考書
　　　　　　　8．練習問題
第Ⅲ章　二体中心力問題
第Ⅳ章　剛体の運動学
第Ⅴ章　剛体の運動方程式
第Ⅵ章　古典力学における特殊相対性理論
第Ⅶ章　Hamiltonの運動方程式
第Ⅷ章　正準変換
第Ⅸ章　Hamilton-Jacobiの理論
第Ⅹ章　微小振動
第Ⅸ章　連続的な系および場に対するラグランジアン形式とハミルトニアン形式の序論
　　　　　参考書一覧

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第Ⅱ章　変分原理とLagrangeの方程式

1．Hamiltonの原理

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2．変分法における二,三の手法

1．同一平面内にある二点間の最短距離

　この問題の三次元版は章末練習問題Ⅱ-1を御覧下さい。

2．面積極小の回転体面(surface of revolution)

02-02-02-A1

［補足説明］
　“懸垂曲線”とは、上図の様に、二点(ｘ₁，ｙ_１)と(ｘ₂，ｙ₂)の間にロープを渡したときに、垂れ下がったロープが示す曲線です。この曲線関数ｘ＝ｘ(ｙ) を、変分法を用いて直接導くこともできます。
　(通常のｘ，ｙ座標とは逆の)上図の座標配置で説明すると、ロープが保持している位置エネルギーは以下の式で表される。

　ロープがこの形で垂れ下がったときがロープの位置エネルギーが最小値となり、実際ロープはこの形で垂れ下がる。
　その形は放物線を上下逆さまにした形に似ていますが、それとは異なったものである事に注意。

3．最速降下線(brachistochrone)の問題

［Wikipediaから引用］
　ヨハン・ベルヌーイ（Johann Bernoulli, 1667-1748年）は、1690年に発見した懸垂曲線の方程式を参照して、最速降下線問題を解いた。そして、後の1696年6月に著書『Acta Eruditorum』で読者に対して問題を提示した。
　4人の数学者がこれに応じて解答した。アイザック・ニュートン、ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654-1705年、ヨハンの兄）、ゴットフリート・ライプニッツ、ギヨーム・ド・ロピタルである。ロピタルを除く3人の解答は1697年の同じ版で出版された。
　弟ヨハンに対抗してヤコブ・ベルヌーイはより難しい最速降下曲線問題を作った。それを解いている間に新しい手法を開発し、それがレオンハルト・オイラーによって後に改良され“変分法”と呼ばれるものになった。
　ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは現代の微積分学に帰着するさらなる仕事を進めた。
　ニュートンとライプニッツの間の異なった競争もまたこの発展に貢献している。
［引用終］