極座標表示のラプラシアン

　3次元直交座標（ｘ，ｙ，ｚ）で表したラプラシアンの定義は、デカルト座標 （ｘ，ｙ，ｚ） で表すと

である。 この定義から始めると、 極座標で表したラプラシアンは

と成る事を証明する。
　3次元直交座標（ｘ，ｙ，ｚ）は、デカルト座標 （ｘ，ｙ，ｚ）とも呼ばれる。

1．デカルト座標と極座標の関係

　デカルト座標と極座標の間には、

の関係があり、これより、

が成り立つ。
　このように極座標はデカルト座標の関数であるので、 極座標の関数 f は、 その極座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。 すなわち、

と表される合成関数である。
　したがって、 合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 f のデカルト座標による偏微分は、

と表される。 同様に、 ここで表された３つの微分もまた極座標の関数であり以下の様になる。

すなわち、その極座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。
　したがって、 再び合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 二階の偏微分が



と表される。 これらにより、ラプラシアン 0．(1)式 は、

と表される。

2．極座標のデカルト座標による偏微分

　前記の式に含まれる極座標のデカルト座標による偏微分は、1．(3)式 から

と求められる。以下でこの関係式を導く。

(1)　ｒ の偏微分公式

　1．(4)式 より、

であるので、

であることが分かる。ただし、最後の式変形に1．(3)式を用いた。

(2)　θ の偏微分公式

　1．(4)式 より、

が示されるので、

と置き、

であることを用いると、 合成関数の微分により、

であることが分かる。 途中の計算で sinθ≧0 (なぜなら 0≦θ≦π) であることを用いた。
　同様の計算により、

が得られる。

(3)　φ の偏微分公式

　1．(4)式 より、

が示されるので、 ｙ／ｘ≡ｕ と置くと

であり、逆三角関数の微分が

であることを用いると、

となる。

3．偏微分公式の極座標表示

(1)　一次偏微分の極座標表示

　1．(5)式に 2．(7)式 を適用すると、　

が得られる。

(2)　角運動量の極座標表示

　角運動量の定義式 (質量は単位値としている) に 2．(7)式 を適用すると、



が得られる。

(3)　ラプラシアンの極座標表示

　1．(6)式に 2．(7)式 を適用すると、

となる。
　式中の偏微分を実行して、式を整理すると

となる。
　更に、同種項をまとめると

となるので、最終的に下記の形に成る。

よって、極座標のラプラシアン

が得られる。