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座標変換と2次形式

 占部実、光藤富士男編「代数・幾何教科書」共立出版社(1964年刊)の第6章からの引用です。ただし、解りやすくする為にかなり改変しています。この前の第4章と第5章は別稿「行列式と行列」で引用していますので適宜ご覧下さい。

1.座標変換
    (1)座標
        1.平面上の極座標
        2.円柱座標
        3.空間の極座標
        4.リーマン空間での座標
    (2)平面上の座標変換
        1.平行移動
        2.回転
        3.一般の座標変換
        4.練習
    (3)座標変換と線形変換
        1.ベクトル空間と基底
        2.原点を共有する直交座標系相互間の座標変換
        3.一般の座標変換
    (4)座標変換と線形変換
        1.ベクトル空間と規定
        2.基底の変換と座標変換
        3.線形変換と基底の変換
        4.

2.二次形式
    (1)2次形式
        1.双1次形式と2次形式
        2.二次形式の標準形と固有値
        3.練習
    (2)固有値と固有ベクトル
        1.固有ベクトル
        2.固有値と固有ベクトルの直交性
        3.固有方程式と重根
        4.
        5.練習
    (3)二次形式の標準化
        1.標準化
        2.標準化と座標変換
        3.練習
    (4)二次形式の正値・負値
        1.Sylvesterの慣性法則
        2.正値・負値の判定
    (5)章末演習問題

3.参考文献

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1.座標変換

)座標

.平面上の極座標





 

.円柱座標    [目次へ]


 

.空間の曲座標    [目次へ]


 

.リーマン空間での座標    [目次へ]

 リーマン空間での座標については、別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」1.(3)〜2.(1)(2)(3) を御覧下さい。
 このとき大切な事は以下の事柄です。

  1. リーマン空間では必然的に斜交座標になる。
  2. リーマン空間では直線的な座標軸によって全空間領域を覆うことはできない。基底ベクトルが有効な領域は空間内の微小領域に限られ、空間を移動すると共に斜交座標を形成する基底ベクトルの組(斜交座標を形成する)はどんどん変化していく、だから座標線は必然的に1.(1)1.の最後で説明した曲線座標系になる。
  3. 基底ベクトルは場所ごとにその交叉角が変化するだけで無く、その単位長さも場所ごとに変化していく。
  4. 基底ベクトルとセットになる双対基底ベクトル系というものも定義する必要がある。そうする必要があるのは「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」1.(3) で説明していますので御覧下さい。
  5. 基底ベクトルによる成分値である反変成分と、双対基底ベクトルの成分値である共変成分とが必然的に必要になります。なぜそうなるのかは「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」2.(3) で説明していますので御覧下さい。

 

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(2)平面上の座標変換

 空間内の点の座標は空間内に引いた座標系によって定まる。したがって座標系が異なれば、同じ点の座標値も違ってくる。2つの座標系によるある点の座標値の間の対応関係を示す式を座標変換式という。

.平行移動

 

.回転    [目次へ]




 下記別稿「行列と行列式」2.(6)5.〜6.はこちら

 

.一般の座標変換    [目次へ]


 

.練習    [目次へ]

 

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(3)空間の座標変換

以下で行列式の基本的な性質を説明する。

.平行移動


 

.原点を共有する直交座標系間の座標変換    [目次へ]





 下記別稿「行列式と行列」2.(6)2.はこちら

 

.一般の座標変換例    [目次へ]


 

.練習    [目次へ]

 

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(4)座標変換と線形変換

 本節はなかなか解りにくい所です。別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」3.でリーマン空間における具体的な例を説明していますので合わせてご覧下さい。

.ベクトル空間と基底




 

.基底の変換と座標変換    [目次へ]




 上記の定理5の系はこちら

 

.線形変換と基底の変換    [目次へ]


 上記別稿「行列式と行列」2.(6)はこちら


 

.例    [目次へ]


 下記の別稿「行列式と行列」2.(5)1.の定理8系はこちら

 

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2.二次形式

)2次形式

1.双1次形式と2次形式


 

.二次形式の標準形と固有値    [目次へ] 


 以下で出てくる“正則行列”の定義は別稿「行列式と行列」2.(3)1.定理2を参照されたし。




 Lが直交行列ならば当然正方行列です。また別稿「行列式と行列」2.(6)4.で説明した様に -1 です。

 このとき、別稿「行列式と行列」2.(5)1.定理8系により以下の事が言える。

 

.練習    [目次へ]

 

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(2)固有値と固有ベクトル

.固有ベクトル




 以下で述べる“直交行列”の定義は別稿「行列式と行列」2.(6)4.を参照されたし。




12=Lが直交行列であることは,Lが別稿「行列式と行列」2.(6)4.の直交行列の性質を満たす事を確かめれば解る。

 

.固有値と固有ベクトルの直交性    [目次へ]





 

.固有方程式と重根    [目次へ]

 ここで、固有方程式が重根をもつ場合を考える。



 上記の別稿「行列式と行列」2.(4)3.の定理4はこちら
 下記で利用する別稿「行列式と行列」2.(5)1.の定理8はこちら


 

.例    [目次へ]





 上記の別稿「行列式と行列」2.(5)1.の定理8系はこちら
 下記で利用する別稿「行列式と行列」2.(5)2.解法の実際はこちら


 

.練習    [目次へ]

 

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(3)二次形式の標準化

.標準化







 

.標準化と座標変換    [目次へ]

 標準化と座標変換の関係を例で説明する。











 

.練習    [目次へ]

 

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(4)二次形式の正値・負値

.Sylvesterの慣性法則


 下記2.(3)1.の定理6系はこちら



 

.正値・負値の判定    [目次へ]







 下記の別稿「行列式と行列」2.(1)4.定理1はこちら
 別稿「行列式と行列」1.(6)1.[補足説明2]の定理はこちら


 

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(5)章末演習問題

 

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3.参考文献

この稿は、下記文献1.の第6章からの引用です。解りやすくなるようにかなり改変しています。

  1. 占部実、光藤富士男編「代数・幾何教科書」共立出版社(1964年刊)第6章
     本稿は、この第6章からの引用です。これは私どもが大学1年の時に学んだ教科書でして当時の書き込みが沢山あったのでが、今見なおすとピント外れが多いので、書き込みはすべて消しました。
  2. 占部実、光藤富士男編「代数・幾何教科書」共立出版社(1964年刊)第4章、第5章を引用している
    別稿「行列式と行列(determinant and matix)」も御覧下さい。
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