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Einstain著「自伝ノート(1947年)」東京図書(1978年刊)

 この文は、P.A.SchilppがEinstainの70歳を記念して編纂した論文集にEinstain自身が寄せたものです。

訳者は、後書きで
 “この自伝ノートは7つの段落から成り、各段落に題名を付けると

  1. 生い立ちと哲学・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 3
  2. 19世紀物理学とその批判・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 16
  3. 量子論とブラウン運動の理論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 53
  4. 特殊相対性理論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 73〜81
  5. 一般相対性理論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 81〜94
  6. 量子力学の統計的解釈批判・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・107
  7. 統一場理論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・111

 のようになる。”
と注意されている。ここでは上記の中で第5段落のみを引用しますが、これは含蓄の深い文章です。

5.一般相対性理論(p81〜94)

 特殊相対性理論はその起源をマクスウェルの電磁場の方程式に負っている。逆に後者は特殊相対性理論によって始めて、形式的に満足がいくように理解できる。マクスウェルの方程式は、ベクトル場から得られる反対称テソソルについて成り立つ、最も簡単な、ローレソツ不変な場の方程式である。このことは、われわれが量子現象から、マクスウェルの理論が輻射のエネルギーの性質について正しくないことを知らなければ、それ自身満足のいくものであったであろう。しかし、いかにマクスウェルの理論が自然なやり方で修正されなければならないか、これに対しては特殊相対性理論も十分な手掛りを与えてはくれない。また、マッハの問、“慣性系は他のすべての座標系からいかにして物理的に区別されるのか“に対してもこの理論は解答を与えてくれない。
 特殊相対性理論が必要な進歩の第一歩に過ぎないということは、私には、この理論の枠内で重力を表わそうと努力したときに始めて、完全に明らかになった。古典力学では、場によって解釈すると、重力ポテンシャルはスカラー場(唯一の成分をもつ場の、最も簡単な理論的な可能性)として現われる。そのような重力場のスカラー理論は、ローレソツ変換の群のもとで、簡単に不変にすることができる。したがって、つぎのようなプログラムが自然なように思われる。物理の全体の場はひとつのスカラー場(重力)とひとつのベクトル場(電磁場)とからなる。後の研究によって結局はより複雑な型の場を導入する必要があるであろうが、まず最初はそれについてあれこれする必要はなかった。
 しかし、このプログラムを実現する可能性はそもそもの初めから疑わしかった。なぜならばその理論はつぎのことを結びつけていなければならなかったからである。

(1)特殊相対性理論の一般的考察から、物理系の慣性質量が全エネルギーとともに(したがって、たとえば運動エネルギーとともに)増加することは明らかであった。
(2)非常に精確な実験から(特にエートヴェスの捩り秤りの実験から)、ある物体の重力質量がその慣性質量に正確に等しいことが経験的に非常に高い精度で知られていた。
 
(1)と(2)から、ある系の重さは精確に知られた方法でその全エネルギーに依存するということが出てくる。もし理論がこのことを取り入れる、あるいはそれか自然に取り入れることができなければ、その理論は放棄されるべきであった。この条件はつぎのように最も自然に表わされる。ある与えられた重力場のなかで自由に落下する系の加速度は落下する系の性質(したがって、特にそのエネルギー量)とは無関係である。

 すると、上に略述したプログラムの枠内ではこの基本的な事態がまったく、あるいはとにかく自然な方法では、満足がいくように表わされないことがわかった。このことから私は、特殊相対性理論の枠内では満足のいく重力の理論の余地がない、と確信した。
 さて私は、慣性質量と重力質量の等価の事実、すなわち落下する物体の性質が重力加速度と無関係であるという事実はつぎのように表わすことができることを思いついた。(小さな空間的ひろがりをもつ)重力場では、もしそこに“慣性系”の代わりに慣性系に対して加速されている参照系を持ち込めば、物体は重力のない空間におけると同じにふるまう。
 それゆえ、もし後者の参照系に関して、(単に見掛けだけではない)“ほんとうの”重力場によってもたらされた物体のふるまいを考えると、この参照系をもともとの参照系と同じように正当にひとつの“慣性系”とみなすことが可能である。したがって、もし、最初から空間的な境界条件による制限を受けていない、任意のひろがりをもつ重力場を可能なものとみなすと、“慣性系”の概念は完全に無内容になる。すると“空間に対して加速される”という概念はどのような意味も失い、それによって慣性の原理もマッハのパラドックスとともに意味を失う。
 こうして、慣性質量と重力質量の等価の事実はまったく自然に、特殊相対性理論の基本的要求(ローレンツ変換のもとでの法則の不変性)があまりにもせますぎること、すなわち法則の不変性は四次元連続体の座標の非線型変換に関しても仮定されねばならない、という認識を与える。
 これは1908年に起こった。なぜ一般相対性理論の建設にさらに7年もの歳月が必要であったか。そのおもな理由は、座標は直接的な計量的意味をもっているに違いないという考えから自らを解き放つことがそれほど簡単ではない、という事実にある。この変化はだいたいつぎのように起こった。
 われわれは、想像しうる物理的状況のなかで最も簡単なものとして、特殊相対性理論の意味で−−慣性系に関係して−−現われる、何もない、場のない空間から出発する。さて、新しい系が慣性系に対して(三次元的な記法で)(適当に定義した) 一方向に一様に加速されていることによって生じる、非慣性系について考えると、この系に関して静的な平行な重力場が存在する。このとき、この参照系を三次元の計量の意味で、ユークリッド型の剛体と選ぶことができる。しかし、この場が静的に現われているにもかかわらず、その時刻は同じ間隔で時を刻む静的な時計では測定されない。この特殊な例からすでに、もし一般に非線型変換を許せば、座標の直接的な計量的意味は失われるということを理解することができる。しかし、この後者は、重力質量と慣性質量の等価を理論の基礎によって正当化したいならば、また慣性系に関するマッハのパラドックスを克服したいと欲するならば、どうしても必要なものである
 しかし、もし座標に直接的な計量的意味(座標の差=測定可能な長さ、時間についても同様)を与えることを放棄しなければならないならば、座標の連続的変換によって到達できる、すべての座標系を等価として扱うことを回避することはできないだろう。
 したがって、一般相対性理論はつぎの原理から出発する。自然法則は連続な座標変換の群のもとで共変な式によって表わされるはずである。この群が特殊相対性理論のローレソツ変換の群に取って代わっており、後者は前者の部分群をなす。
 この要求それ自身だけでは物理学の基本概念を導くための出発点とするにはもちろん不十分である。そのうえ、この要求それ自身のみで物理法則に実際の制限を含んでいるということに対して異論を唱えることさえできる。なぜならば、最初にある座標系に対してのみ仮定した法則を定式化し、新しい定式が形式的に普遍的に共変であるようにすることがつねに可能であると考えられるからである。さらに、この共変性の性質をもつ無数に多くの場の法則を定式化できることはそもそもの始めから明らかである。しかし、一般相対性理論のいちじるしく発見的な意味は、それによってわれわれがその一般共変な定式のなかで可能な限り最も簡単なものを探すことができるという事実にある。それらのなかにわれわれは物理空間の場の方程式を探さなければならない。そのような変換で互いに移り変わりうる場は同一の事実を記述する。
 この分野の研究をしている者にとって、主問題はつぎのものである。空間の物理的性質(“構造”)を表わすことを許す変数(座標の関数)はどのような数学なのか。つぎにやっと、どのような方程式がそれらの変数によって満足されるのかという問題がでてくる。
 現在のところ、われわれはこれらの疑問に対して依然として、確実に答えることはできない。一般相対性理論の最初の定式化で選ばれた道筋はつぎのように特徴づけられる。われわれはどのような型の場の変数(構造)によって物理空間が特徴づけられるべきなのかをすこしも知らないけれども、われわれはひとつの特別な場合、すなわち特殊相対性理論における“場のない空間”の場合を確実に知っている。そのような空間は、適当に選んだ座標系では二個の隣接する点に属する式

ds2=dx12+dx22+dx32+dx42        (1)

が測定可能な量(距離の二乗)を表わし、したがって実際の物理的意味をもっているという、事実によって特徴づけられる。任意の系に移ると、この量はつぎのように表わされる。

ds2=gikdxidxk                   (2)

ここで示字は1から4までおよぶ。gikは(実の)対称テソソルである。もし場(1)に変換をおこなった後で、gikの座標に関する一階微分が消えないならば、この座標系に対して上に考えた意味での重力場、詳しく言えば、まったく特殊な型の重力場が存在する。リーマンのn次元計量空間の研究のおかげで、この特殊な場は不変に特微づけることができる。

(1)計量(2)の係数からつくったリーマンの曲率テンソルRiklmは消える。
(2)慣性系に間する((1)が成り立つ系に関する)質点の軌道は直線であり、したがって極値線(測地線)である。しかし、後者はすでに、(2)に基づく運動の法則のひとつの特微づけである。

すると、物理空間の普遍的な法則は今特微づけた法則を一般化したものでなければならない。ここで私は、つぎの二段階の一般化があることを仮定する。

(a)純粋な重力場
(b)一般の場(そこでは何か電磁場に対応した量も現われる)。

(a)の場合は場が依然としてリーマソ計量(2)によって、すなわち対称テソソルによって表わされるということで特微づけられたが、形式(1)では(無限小の領域を除くと)いかなる表現も存在しない。これは場合(a)ではリーマン・テソソルが消えないことを意味する。しかし、この場合、この法則を一般化(緩和)したものになっている、場の法則が成立しなければならないことは明らかである。この法則がまた微分について二階であり、二次微分について線型でなければならないとすると、一個の縮約によって得られる唯一の方程式

0=Rkl=gimiklm

が場合(a)の場の方程式として問題になる。さらに、場合(a)でも測地線を依然として粒子点の運動の法則を表わすものと仮定するのが自然に思われる。
 当時は私には、全場(b)を表わし、それに対する場の法則を突き止めることをあえて試みることはまったく見込みのないものに思えた。したがって私は、全体の物理的実在を表わす、予備的な形式的枠組を建てるほうを選んだ。これは、一般相対性の基礎的な考え方の有効性を少なくとも予備的に調べるために必要であった。それはつぎのようになされた。
 ニュートンの理論では、物質の密度ρが消える場所における、重力の場の法則をつぎのように書くことができる。

Δφ=0

(ここでφは重カポテンシャルである。) 一般には

Δφ=4πkρ

(ポアッソンの方程式)と書くことができるであろう。(ここでρは質量密度。)重力場の相対論的理論の場合にはRikがΔφの代わりをする。すると右辺でもρの代わりにテンソルを用いなければならない。われわれは特殊相対性理論から(慣性)質量がエネルギーに等しいことを知っているから、右辺にはエネルギー密度テソソル−−より正確には、純粋な重力場に属さない、全エネルギー密度を置かなければならないだろう。このようにして、場の方程式

ik−(1/2)gikR=−kTik

が得られる。左辺の第二項は形式的理由から加えた。すなわち、左辺はその発散が絶対微分学の意味で恒等的に消えるようになっている。右辺はすべてのものを形式的にいっしょにしたものであり、それを場の理論の意味で理解することは依然として未解決である。当然のことながら、私は一瞬たりとも、この定式化が、一般相対性原理に予備的な閉じた表現を与えるための、単なる応急処置であることを疑わなかった。これは本質的に、現在のところ未知の構造をもつ全体の場がらやや人為的に孤立させた、重力場の理論以外の何ものでもないからであった。
 ここに粗描した理論の何かが−−連続な座標変換の群のもとでの方程式の不変性の要求を別にして−−すこしでも最終的な意味をもちうるとすれば、それは純粋な重力場という極端な場合の理論であり、その場合と空間の計量的構造との関係である。この理由から、すぐ後では純粋な重力場の方程式についてのみ述べる。
 この方程式の特徴は、一方ではその複雑な構造、特に場の変数とその微分に関する非線型性にあり、他方では、変換群がこの複雑な場の法則を決定している、ほとんど強制的な必然性にある。もし特殊相対性理論にとどまり、ローレンツ群にとどまったとすると、場の法則 Rik=0 こはこのせまい群の枠内でまた不変になっている。しかし、このせまい群の観点からすると、対称テソソル gik で表わされるような非常に複雑な構造によって重力を表わす理由は最初はまったく存在しない。しかしながら、もしそれについて十分な理由が見つかれば、量 gik から無数の場の法則が得られ、そのすべてがローレソツ変換のもとで不変である(が、しかし、一般群のもとでは不変ではない)。しかし、たとえすべての考えられるローレンツ不変な法則から、広い群に属する法則を偶然に正確に推察したとしても、一般相対性原理によって切り拓かれた認識段階には依然として至ってはいないであろう。なぜならば、そのようにして二個の解を得、二個の解が座標の非線型変換で互いに移り変われば、すなわち、広い群の観点からは二個の解が同一の場の単に異なる表現であっても、ローレソツ変換の観点からはその二個の解は互いに物理的に異なるものとして誤って解釈されてしまうからである。
 場の構造と群についてもうひとつの一般的注意をする。一般には、理論が前提とする“構造”が簡単であればあるほど、また理論に関係する場の方程式が不変である群が広ければ広いほど、その理論はより完全であると判定されることは明らかである。さて、この両方の要求が互いに絡み合っていることがわかる。たとえば、特殊相対性理論(ローレンツ群)によると考えられる最も簡単な構造(スカラー場)に対して共変な法則を立てることができるが、一般相対性理論(座標の連続変換からなる、より広い群)では対称テソソルという、より複雑な構造にのみ不変な場の法則が存在する。われわれはすでに、物理学ではより広い群のもとでの不変性を要求しなければならないという事実に物理的な基礎を与えた。(注1)しかし、純粋に数学的な観点からは、私は、群の広さのために、より簡単な構造を犠牲にしなければならない、いかなる理由も見いだすことができない。

(注1) せまい群にとどまり、同時に一般相対性理論をより複雑な(テソソル)構造に基礎づけることは素朴な矛盾を意味する。他の点ではどんなに尊敬しうる人によって犯されたとしても、罪は罪である。

 一般相対性の群は、始めて、最も簡単な不変な法則が場の変数やその微分商について線型でもなければ斉次でもないことを必然的に伴っている。これはつぎの理由から基本的に重要である。もし場の法則が線型(で斉次)であれば、たとえば真空におけるマクスウェルの場の方程式のように、二個の解の和もふたたび解である。このような理論では、場の方程式のみから物体間の相互作用を導くことは不可能であり、後者は系の解とは別に記述されるものである。この理由から、今までの理論はすべて、場の方程式のほかに、場の影響のもとにある物体について特別な法則を必要とした。なるほど、重力の相対性理論では、始めは運動の法則(測地線)は、場の法則とは別に、独立に仮定された。しかし、その後、運動の法則を独立に仮定する必要はなく(仮定しなくてもよく)、それはすでに重力場の法則のなかに陰に含まれているということが明らかになった。
 この本来的に複雑な状況の本質はつぎのように説明することができる。静止している一個の物質点は、その物質点が位置している点を除いて、いたるところ有限で正則な重力場で表わされる。物質点が位置している点では場は特異性をもつ。しかし、場の方程式の積分によって、静止している二個の物質点に属する場を計算すると、この場は物質点の位置における特異性の他に二点間を結ぶ線上に特異点の線をもつ。しかし、物質点の運動を前もって決め、物質点によって決まる重力場が物質点以外ではいたるところ特異にならないようにすることは可能である。これがまさに、第一近似でニュートンの法則によって記述される運動である。したがって、場の方程式の解が質点を除いていたるところ特異にならないように質点は運動する、ということができる。重力方程式のこの性質はその非線型と密接に関係しており、後者は広い変換群によってもたらされたものである。
 さて、もし物質点の位置に特異性を許すならば、いったいどのような理由によって、空間の他の場所に特異性が生じることを禁止するのか、と異議を唱えることはもちろん可能である。この異議は、もし重力場の方程式を全体の場の方程式と考えるのであれば、正しいであろう。しかし、実際にはそうではないのであるから、粒子の位置に近ければ近いほど、物質粒子の場は純粋な重力場とは異なったものに見えると言わなければならない。もし全体の場の、場の方程式があれば、粒子そのものは完全な場の方程式のいたるところで特異性のない解として記述されるべきだということを要求しなければならない。そのとき始めて、一般相対性理論は完全な理論になるのであろう。

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