の関係で結びつけられる。
崩壊系列の時刻ｔにおける親核種の存在量をＸ1、娘核種の存在量をＸ2、Ｘ3、･････、Ｘnとする。ｉ番目の核種の存在量Ｘiの時間的変化は自らの存在量Ｘiに比例して失われていく崩壊速度とＸi-1が壊れてＸiに付け加わってくる速度（Ｘi-1に比例)に関係するから、Ｘ1、Ｘ2、･････、Ｘnは下記の連立常微分方程式を満足する。
この連立常微分方程式は一見すると複雑に見えるが、この問題の特徴を理解すると意外に簡単に解ける。
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放射性崩壊系列を数学的に少し詳しく説明します。一次の化学反応の理論と同じです。
現在の地球上には三種類の崩壊系列が残っている。238Ｕから出発して最終的に206Ｐbへ崩壊するウラニウム・ラジウム系列（４ｎ＋２）、235Ｕから出発して207Ｐbに崩壊するアクチニウム系列（４ｎ＋３）、232Ｔhから出発してそして208Ｐbへ崩壊するトリウム系列（４ｎ）がある。それらの詳細については別項「放射性崩壊と半減期」を参照。
ここでは話を簡単にするために系列の枝分かれは無視してそれぞ一列の連鎖崩壊として考える。また、それぞれの核種の崩壊定数をλ1、λ2、･･･λn-1とする。これらは、各核種の半減期と
の関係で結びつけられる。
崩壊系列の時刻ｔにおける親核種の存在量をＸ1、娘核種の存在量をＸ2、Ｘ3、･････、Ｘnとする。ｉ番目の核種の存在量Ｘiの時間的変化は自らの存在量Ｘiに比例して失われていく崩壊速度とＸi-1が壊れてＸiに付け加わってくる速度（Ｘi-1に比例)に関係するから、Ｘ1、Ｘ2、･････、Ｘnは下記の連立常微分方程式を満足する。
この連立常微分方程式は一見すると複雑に見えるが、この問題の特徴を理解すると意外に簡単に解ける。
放射性崩壊は各核種の性質で決まっており、Ｘiの関数形はＸh（ｈ＜ｉ）には影響されるが、その崩壊産物Ｘj（ｉ＜ｊ）の値には全く影響されない。そのため連立の方程式にもかかわらず、（１）式から順番に解いてゆけばすべての解を得ることができる。
前節１．の方程式を初期条件 ｔ＝0のときＸ1＝Ｘ0、Ｘ2〜Ｘn＝0 で解く。
よく知られているように
となる。ただしＸ0はＸ1の時刻ｔ＝0の時の値である。
（２）式の右辺第２項が上記の定まった関数になるので、その形から予想されることであるが、
となるであろう。ｆ(ｔ)の形を定めるために、この式を(２)式に代入して整理する
となるので、Ｘ2は
となる。
この場合も（２）式の場合と同様に
を考えて、この式を（３）式に代入してｆ(ｔ)の形を定める。
となるので、Ｘ3は
（１）〜（３）式の解から、Ｘiの形は
であると予想される。ここで各項の分母の（λi−λj）においてｉ＝ｊとなる部分が抜け落ちていることに注意。
この式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。
Ｘiが上式で表されるとすると、（ｉ＋１）番目の方程式の解は
と考えて、この式を（ｉ＋１）番目の微分方程式に代入してｆ(ｔ)の形を定める。
となるのでＸi+1は
となる。ここで
となることが証明できればＸiの表現式が正しいことになる。つまり
を証明すればよい。
以下で、数学的帰納法を用いてこの式を証明する。すでに述べたように
が成り立てば、ｎ＝ｉ＋１ での（Ａ）式が成り立つことを証明すればよい。
上記（Ａ)式の第１項〜第ｉ項までを取り出すと
となる。以下、同様な手順を繰り返せば
となる。これは上記（Ａ)式の ｉ＋１ 番目の項の符号を変えたものに等しいので、（Ａ）式が成り立つことが証明された。
よって、Ｘiは最初仮定した式で表されることが証明されたことになる。
となる。ここでＣは積分定数であるが、ｔ＝0 のとき Ｘn＝0 とならねばならないので
となる。ここで、Ｘiの導出の際に利用したテクニックを用いて変形していくと
同様な変形を繰り返すと
となる。そのためＸnは
となる。
この式は、当然のことであるが Ｘn＝Ｘ0−（Ｘ1＋Ｘ2＋･･･＋Ｘn-1） によって求めた式と一致する。また以前求めたＸiの表現式において ｉ を ｎ で置き換えた後に λn を 0 と置いて得られる式と一致する。これらは簡単な計算で確かめることができるので、ぜひ確認してみて下さい。
ここは齋藤和男 氏の http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/ex16.html を利用させてもらって高校生向きに解りやすくしたものです。感謝！ ただし、ｎ＝５ ぐらいまでなら、こんな大げさなことをしなくても地道に計算すれば求まる。
前節で、すべての解Ｘ1、Ｘ2、･･･、Ｘi、･･･、Ｘn が得られたので、以下で幾つかの例を検討する。
これらの解は、初期条件 ｔ＝0でＸ1＝Ｘ0、Ｘ2＝Ｘ3＝0 のとき
となる。以下ではすべて初期値をＸ0＝1として論じる。
崩壊平衡に達してからはＸ1とＸ2の存在比は、Ｔ1＞＞Ｔ2の場合ほぼその半減期に比例する。またＸ2の存在は微量なのでＸ1が半減期Ｔ1で直接Ｘ3に崩壊すると見なせる。
Ｘ1は急速に減少してＸ2に置き換わる。そのため、やがてＸ1の存在は無視してよくなり、Ｘ2が半減期Ｔ2でＸ3に崩壊すると見なせるようになる。
これらの解は、初期条件 ｔ＝0でＸ1＝Ｘ0、Ｘ2〜Ｘ7＝0 のとき
となる。以下Ｘ0＝1とする。
ｔ＜Ｔ1の段階では、Ｘ1の崩壊につれて、Ｘ2→Ｘ3→Ｘ4→Ｘ5→Ｘ6→Ｘ7の順に少しずつ遅れながら核種の存在量が増大していく。
ｔ＞＞Ｔ1の段階では、Ｘ1の崩壊消滅に続いて、Ｘ1→Ｘ2→Ｘ3→Ｘ4→Ｘ5→Ｘ6の順に少しずつ遅れながら核種が消滅していく。
Ｔ1＞＞Ｔ2〜Ｔ6の場合、崩壊平衡に達してからはＸ1とＸ2〜Ｘ6の存在比は、ほぼその半減期に比例する。そのとき、Ｘ2〜Ｘ6の存在量はごく微量なのでＸ1が半減期Ｔ1で直接Ｘ7に崩壊すると見なせる。Ｘ2〜Ｘ6は微少量なので、その様子が解るように縦軸0〜0.02の部分を拡大してみる。
拡大してみると明らかなように、短い時間で崩壊平衡状態になった後、Ｘ2〜Ｘ6の存在量はＸ1と同じ半減期で減少していくことが解る。
Ｘ1〜Ｘ5は急速に減少してＸ6に置き換わる。そのため、やがてＸ1〜Ｘ5の存在は無視してよくなり、Ｘ6が半減期Ｔ6でＸ7に崩壊すると見なせるようになる。
半減期が順々に短くなっていく場合。
半減期が順々に長くなっていく場合。
実際の崩壊系列のモデルとして、以下の例は興味深い。
Ｘ2〜Ｘ6微少なので、その様子が解るように縦軸0〜0.2の部分を拡大してみると、Ｘ2はＸ1に対して半減期の比率で存在することが解る。
さらに縦軸0〜0.02の部分を拡大してみると、Ｘ3〜Ｘ6はＸ1に対して半減期の比率で存在することが解る。
すると。
Ｔ2とＴ3〜Ｔ6の間に大きさの差があってもＴ1＞＞Ｔ2〜Ｔ6とみなせるので（ｃ）の場合と同様に、崩壊平衡に達してからはＸ1〜Ｘ6の存在比は、それらの半減期に比例して存在するとみなせる。そのときＴ2〜Ｔ6は少量なので、Ｘ1が半減期Ｔ1でＸ7に崩壊していくと見なせる。
Ｔ1に比較してかなり小さい半減期Ｔ2〜Ｔ6の崩壊系列の中に、少し長めの半減期Ｔ4を持つ核種Ｘ4が混じっている場合、その前後の崩壊はどのようになるのか見てみる。
Ｘ2〜Ｘ6ｔが微少量なので、その様子が解るように縦軸0〜0.2の部分を拡大してみる。
さらに0〜0.02の部分を拡大すると。
これらから解るように非常に短い半減期のT2〜T6の中に少し長い半減期の核種T4が混じると、Ｘ4の蓄積に時間がかかるためＸ5〜Ｘ6の蓄積の立ち上がりがＸ2〜Ｘ4に比べて遅れてくる。
最後にＴ2〜Ｔ6の間に大きさの差があっても、Ｔ1＞＞Ｔ2〜Ｔ6とみなせる場合、崩壊平衡に達してからはＸ1〜Ｘ6の存在比は、それらの半減期に比例することを確かめておこう。
Ｘ2〜Ｘ6微少なので、その様子が解るように縦軸0〜0.02の部分を拡大してみる。
拡大してみると明らかなようにその存在比は各核種の半減期にきれいに比例している。そして、それらの存在量はＸ1と同じ半減期で減少していくことがわかる。次のグラフは横軸ｔ＝0〜20の部分を拡大して、立ち上がる部分を確認するものである。
崩壊順（Ｘ2→Ｘ3→Ｘ4→Ｘ5→Ｘ6）に核種の存在が立ち上がっているが解る。
各核種の存在比がその半減期に比例する事実は、崩壊の順序によらないことが（ｉ）と（ｊ）を比較してみれば解る。Ｘ2〜Ｘ6は微少なので、縦軸0〜0.02の部分を拡大している。
横軸ｔ＝0〜20の部分を拡大して、立ち上がる部分を確認する。
（ｉ）の場合と同じ順番（Ｘ2→Ｘ3→Ｘ4→Ｘ5→Ｘ6）で立ち上がっている。しかし、最終的に落ち着く崩壊平衡時の値が（ｉ）と逆なのでグラフが途中で交叉している。
これらから解るようにＴ1がＴ2〜Ｔ6に比較して十分長い場合、ある程度時間が経って崩壊平衡が実現されると、各核種の存在比はその半減期に比例する。
ここで述べた崩壊平衡（放射平衡）は、λ1＜＜λ2〜λn-1 と見なせる場合に生じるが、１．で述べた微分方程式（２）〜（ｎ−１）式の左辺の時間微分項がほぼゼロと見なせる状況（付け加わる速度と取り去られる速度がほぼ等しい）が実現されたときを意味する。
これらの式が満たされれば、（２’）〜（ｎ’−１）式より
がほぼ満たされることになる。ただし前記のグラフから明らかなように、左辺のゼロが完全に満たされることはないので、厳密に比例するわけではない。また、このとき
