開平法の本質は以下の代数式展開ができるところにある。
（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・）２＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）
＝ａ２＋２ａｂ＋２ａｃ＋２ａｄ＋２ａｅ＋・・・・
＋ｂ２＋２ｂｃ＋２ｂｄ＋２ｂｅ＋・・・・
＋ｃ２＋２ｃｄ＋２ｃｅ＋・・・・
＋ｄ２＋２ｄｅ＋・・・・
＋ｅ２＋・・・・
＝ａ２＋ｂ（２ａ＋ｂ）
＋ｃ｛２（ａ＋ｂ）＋ｃ｝
＋ｄ｛２（ａ＋ｂ＋ｃ）＋ｄ｝
＋ｅ｛２（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ｅ｝
＋・・・・・
このように展開できることは下図からも明らかである。
開平の筆算法はこの展開を利用したものである。例として１２５６８９の平方根を計算してみる。実際の手順はたいていの高校物理教科書の付録に記載されているのでそこを読んで下さい。
開平のメカニズムを拡張すると開立の筆算法が確立できる。開立法の本質は以下の代数式展開ができるところにある。
（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・）３＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）
＝ａ３＋ｂ（３ａ２＋３ａｂ＋ｂ２）
＋ｃ｛３（ａ＋ｂ）２＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ２｝
＋ｄ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋３（ａ＋ｂ＋ｃ）ｄ＋ｄ２｝
＋ｅ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）２＋３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）ｅ＋ｅ２｝
＋ｆ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）２＋３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）ｆ＋ｆ２｝
＋・・・・・
このように展開できることは下図からも明らかである。
開立の筆算法はこの展開を利用したものである。例として３１２６５２８７１７６．５４２の立方根を計算してみる。下図の四角括弧□の中に同じ数字が入る。例えば２段目の２７９１であるが３×３０２の部分が一番効いてくるので□に１を入れればよい。それを見つけるのはそんなに難しくない。３段目も３×３１０２の部分が一番効いてくるので□が５になることはたやすく見つかる。
３次元以上の立方体を想像するのは難しいが代数的な展開は４次、５次・・・いくらでも同様な展開ができるので、４乗根、５乗根、・・・・を筆算で求めるのは可能である。興味のある人は一考されたし。ただし４乗根は開平を２回、６乗根は開平と開立を行えば良い。
驚くべき事に、こういった方法で乗根を求める方法は紀元前に書かれた古代中国の算術書「九章算術 第四巻」の中にすでに紹介されている。
参考文献 朝日出版社刊 科学の名著２「中国天文学・数学集」Ｐ１３３−１３８